Arcs on spheres intersecting at most twice

We consider a punctured sphere of negative Euler characteristic, and a collection of essential, simple arcs between the punctures. It was already known that if the arcs in the collection pairwise intersect at most once, then there is a sharp upper bound of 2|χ|(|χ|+1) arcs in the collection. In this paper we prove that for arcs pairwise intersecting at most twice, the upper bound is |χ|(|χ|+1)(|χ|+2). To obtain this result, we consider a case where the punctured sphere has a single, distinguished puncture, and the arcs in the collection each run from this distinguished puncture to any of the other punctures on the sphere, and pairwise intersect at most once. In this case, the upper bound is |χ|(|χ|+1).Nous considérons une sphère perforé avec négatif caractéristique d'Euler, et une collection d'arcs simples essentiels entre les crevaisons. On savait déjà que si les arcs de la collection se croisent au plus une fois par paires, puis il y a une forte limite supérieure de 2|χ|(|χ|+1) arcs dans la collection. Dans cet article, nous montrons que pour les arcs qui se croisent au plus deux fois par paires, la limite supérieure est |χ|(|χ|+1)(|χ|+2). Pour obtenir ce résultat, nous considérons le cas où la sphère perforé a une seule ponction distingué, et les arcs dans la collection vont de cette ponction distinguée à l'un des autres ponctions sur la sphère, et se croisent au plus une fois par paires. Dans ce cas, la limite supérieure est |χ|(|χ|+1)