Differential geometric aspects of causal structures

This thesis is concerned with causal structures, which are defined as a field of tangentially non-degenerate projective hypersurfaces in the projectivized tangent bundle of a manifold. The local equivalence problem of causal structures on manifolds of dimension at least four is solved using Cartan's method of equivalence, leading to an {e}-structure over some principal bundle. It is shown that these structures correspond to parabolic geometries of type (D_n , P_{1,2} ) or (B_n , P_{1,2} ) when n ≥ 4 or (D_3 , P_{1,2,3} ). The essential local invariants are determined and interpreted geometrically. Several special classes of causal structures are considered including those that are a lift of pseudo-conformal structures and those referred to as conformally flat causal structures. A rigidity theorem for conformally flat causal structures over compact manifolds is obtained. A notion of half-flatness is defined for four dimensional causal structures whose null cones are ruled projective surfaces, which generalizes the notion of half-flat conformal structures of split signature. A twistorial construction for conformally flat causal structures and half-flat causal structures is given.Cette thèse porte sur les structures causales, definies comme champs d'hypersurfaces projectivestangentiellement non-dégénérées dans le projectivisé du fibré tangent d'une variété. Le problèmed'équivalence locale des structures causales sur des variétés de dimension supérieure ou égale àquatre est résolu à l'aide de la méthode d'équivalence de Cartan, menant à une {e}-structure surun fibré principal. On démontre que ces structures correspondent à des géometries paraboliquesde type (B_n , P_{1,2} ) ou (D_n , P_{1,2} ) lorsque n ≥ 4 ou (D_3 , P_{1,2,3} ). Les invariants locaux essentielssont déterminés et interprétés géométriquement. Plusieurs classes de structures causales sontconsidérées, dont celles correspondant au relèvement d'une structure pseudo-conforme et celles quisont désignées comme structures causales conformément plates. Un théorème de rigidité pour lesstructures causales conformément plates est démontré. Une notion de semi-platitude est définiepour les structures causales dont les cônes isotropes sont des surfaces projectives réglées, quigénéralise la notion de semi-platitude pour les structures conformes de signature déployée. Uneinterprétation twistorielle est donnée pour les structures causales conform ́ement plates