p-adic geometry and dynamics

Complex dynamics in a single variable is a well-studied field pioneered by Gaston Julia and Pierre Fatou. It deals with the iteration of rational maps on the Riemann sphere. Many beautiful fractal images arise such as the Mandelbrot set or the Julia sets of functions. As explored in [Sil07], dynamical systems has applications to arithmetic problems. The idea prompting this thesis was to look at the dynamics of p-adic correspondences and derive arithmetic information. We start our study of dynamics with the classical complex case. A quick diversion into nonarchimedean analysis is then needed before we move on to nonarchimedean dynamics, initially over $P^1(K)$ where $K$ is a nonarchimedean field. Many results similar to those in the complex setting hold in this nonarchimedean situation. After illustrating some of these similarities, as well as some differences, we move on to build the theory of nonarchimedean geometry. Starting from the basics, we construct the category of rigid analytic spaces and give some important examples. These spaces, while interesting in their own right, are not true topological spaces and hence not apt spaces on which to study dynamics. In light of this, we construct Berkovich spaces (this time truly topological spaces) in the next section and give many examples. In our penultimate section, we look at how to define dynamics on $P^1_{Berk}(K)$ by taking advantage of the tree structure. Finally, we explore some questions about dynamics of nonarchimedean correspondences, focusing specifically on the quadratic case.La dynamique complexe à une variable est un domaine bien développé, ayant été innové par Gaston Julia et Pierre Fatou. Elle concerne l'itération des fonctions rationelles sur la sphère de Riemann. Plusieurs images fractales se sont produites de cette façon, par exemple en considerant l'ensemble de Mandelbrot ou l'ensemble de Julia d'une fonction. Comme Silverman explique dans son livre [Sil07], l'étude des systèmes dynamiques s'applique aux questions d'arithmétique. L'idée soulevant cette thèse est de considérer les dynamiques des correspondances p-adiques et de d'en déduire de l'information arithmétique. D'abord, nous commençons notre étude par le cas complexe classique. Ensuite, il est nécessaire d'introduire l'analyse nonarchimédienne avant de passer à la dynamique nonarchimédienne. Au départ nous considerons une dynamique sur $P^1(K)$, et $K$ un corps nonarchimédien. Nous mentionnons plusieurs propositions analogues à ceux des cas complexes qui sont établis. Après avoir discuté les similarités et les différences entre les deux cas, nous développons une théorie de la géométrie nonarchimédienne. Commençant avec les notions rudimentaires, nous construisons la catégorie des éspaces analytiques rigides. Ces espaces, tant qu'ils sont intéressants, ne sont pas des espaces topologiques, donc l'étude de la dynamique n'est pas pratique. En tenant compte de ceci, nous construisons des éspaces Berkovitch, qui eux sont des véritables éspaces topologiques, et nous donnons quelques examples concrets. Nous expliquons comment définir une dynamique sur l'éspace $P^1_{Berk}(K)$ en profitant de sa structure d'arbre. Finalement, nous examinons certaines questions à propos de la dynamique des correspondances nonarchimédiennes, mettant au point le cas quadratique