Modélisation et simulations numériques pour des systèmes de la mécanique des fluides avec contraintes; application à la biologie et au trafic routier

The works presented in this thesis are devoted to the study of partial differential equations systems (PDE). In particular, we are interested in constrained systems coming from the fluid mechanics field which allow to described, in time and space, physical quantities such as density or speed. In this context, we build models for biology which are then numerically tested. We also present an original numerical method for a road traffic model.In the first part, using the theory of mixtures, we model the development of a photosynthetic micro-algae biofilm. The growth of micro-algae is precisely described by taking into account their composition and their access to nutrients dissolved in the surrounding liquid and light. Then, using numerical simulations, we estimate the biofilm productivity.In the second part, using the mixture theory we propose a model describing the rheology of the large intestine and its mucus layer. Thanks to this model we can give an accurate description of the velocity field induced by intestinal flow. This velocity field will then be used to build a modeldescribing precisely interactions between the intestinal microbiota, the gastric broth and the host. For these two models numerical schemes are proposed and allow a first validation of the models.The last part is devoted to developing an asymptotic preserving scheme for the constraint Aw-Rascle system for road traffic. We present an explicit-implicit method based on a splitting technique in order to approximate the solutions of Aw-Rascle system with constraint, while relaxing the stability condition (CFL).Les travaux présentés dans cette thèse sont consacrés à l’étude de systèmes d’équations aux dérivées partielles (EDP). En particulier, nous nous intéressons à des systèmes issus de la mécanique des fluides avec contraintes, qui permettent de décrire de manière continue, en temps et en espace, des quantités physiques telles que la densité ou la vitesse. Dans ce cadre, nous construisons des modèles pour la biologie, qu’ensuite nous testons numériquement. Nous proposons également avec des méthodes similaires une approche numérique originale pour un système de trafic routier.Dans une première partie, à l’aide de la théorie des mélanges, nous modélisons le développement d’un biofilm de micro-algues photosynthétiques. La croissance des micro-algues y est précisément décrite, en tenant compte de leur composition et de l’accès aux nutriments dissouts, contenus dans le liquide environnant ainsi que de la lumière. Puis, à l’aide de simulations numériques, nous estimons la productivité du biofilm.Dans la seconde partie, en utilisant la théorie des mélanges, nous proposons un modèle permettant de décrire la rhéologie du gros intestin et de sa couche de mucus. Grâce à ce modèle, nous donnerons une description précise du champ de vitesse, induit par le flux intestinal. Puis, ce champ de vitesse sera utilisé pour construire un modèle décrivant les interactions entre le microbiote intestinal, le bouillon gastrique et l’hôte. Pour ces deux modèles, un schéma numérique est proposé et permet une première validation.Enfin, la dernière partie est consacrée à l’élaboration d’un schéma asymptotic preserving pour le système de trafic routier d’Aw-Rascle avec contrainte. Nous y présentons une méthode explicite-implicite basée sur une technique de splitting permettant d’approcher les solutions du systèmed’Aw-Rascle avec contrainte, tout en réduisant la contrainte de stabilité (CFL)