Quelques contributions à la mathématique quantique à N corps

The results summarized here are intended as rigorous mathematical statements on various physical models coming from condensed matter physics, statistical mechanics (classical and quantum), quantum field theory and cold atoms physics. The main tools are mostly those of the mathematical analyst: partial differential equations, functional analysis, spectral theory, calculus of variations, with some incursions into probability theory. A running thread is the construction, by rigorous asymptotic analysis most of the time, of bridges between different levels of mathematical modeling of physical phenomena.This is the manuscript for the author's habilitation thesis, summarizing results obtained between 2011 and 2016, in collaboration with: Michele Correggi, Mathieu Lewin, Douglas Lundholm, Phan Thành Nam, Robert Seiringer, Sylvia Serfaty and Jakob Yngvason.Les résultats résumés dans ce mémoire ont pour ambition de constituer des résultats mathématiques rigoureux portant sur différents modèles de physique de la matière condensée, de physique statistique (classique et quantique), de théorie quantique des champs et de physique des atomes froids. Les outils principaux sont ceux de l'analyste: équations aux dérivées partielles, analyse fonctionnnelle, théorie spectrale, calcul des variations, avec des incursions vers les probabilités. Une direction générale est la construction, par une analyse asymptotique rigoureuse, de passerelles entre différents niveaux de modélisation mathématique de certains phénomènes physiques.Les travaux résumés couvrent la période 2011-2016 et ont étés effectués en collaboration avec: Michele Correggi, Mathieu Lewin, Douglas Lundholm, Phan Thành Nam, Robert Seiringer, Sylvia Serfaty et Jakob Yngvason