Analyse de stratégies bayésiennes et fréquentistes pour l'allocation séquentielle de ressources

In this thesis, we study strategies for sequential resource allocation, under the so-called stochastic multi-armed bandit model. In this model, when an agent draws an arm, he receives as a reward a realization from a probability distribution associated to the arm. In this document, we consider two different bandit problems. In the reward maximization objective, the agent aims at maximizing the sum of rewards obtained during his interaction with the bandit, whereas in the best arm identification objective, his goal is to find the set of m best arms (i.e. arms with highest mean reward), without suffering a loss when drawing ‘bad’ arms. For these two objectives, we propose strategies, also called bandit algorithms, that are optimal (or close to optimal), in a sense precised below. Maximizing the sum of rewards is equivalent to minimizing a quantity called regret. Thanks to an asymptotic lower bound on the regret of any uniformly efficient algorithm given by Lai and Robbins, one can define asymptotically optimal algorithms as algorithms whose regret reaches this lower bound. In this thesis, we propose, for two Bayesian algorithms, Bayes-UCB and Thompson Sampling, a finite-time analysis, that is a non-asymptotic upper bound on their regret, in the particular case of bandits with binary rewards. This upper bound allows to establish the asymptotic optimality of both algorithms. In the best arm identification framework, a possible goal is to determine the number of samples of the armsneeded to identify, with high probability, the set of m best arms. We define a notion of complexity for best arm identification in two different settings considered in the literature: the fixed-budget and fixed-confidence settings. We provide new lower bounds on these complexity terms and we analyse new algorithms, some of which reach the lower bound in particular cases of two-armed bandit models and are therefore optimalDans cette thèse, nous étudions des stratégies d’allocation séquentielle de ressources. Le modèle statistique adopté dans ce cadre est celui du bandit stochastique à plusieurs bras. Dans ce modèle, lorsqu’un agent tire un bras du bandit, il reçoit pour récompense une réalisation d’une distribution de probabilité associée au bras. Nous nous intéressons à deux problèmes de bandit différents : la maximisation de la somme des récompenses et l’identification des meilleurs bras (où l’agent cherche à identifier le ou les bras conduisant à la meilleure récompense moyenne, sans subir de perte lorsqu’il tire un «mauvais» bras). Nous nous attachons à proposer pour ces deux objectifs des stratégies de tirage des bras, aussi appelées algorithmes de bandit, que l’on peut qualifier d’optimales. La maximisation des récompenses est équivalente à la minimisation d’une quantité appelée regret. Grâce à une borne inférieure asymptotique sur le regret d’une stratégie uniformément efficace établie par Lai et Robbins, on peut définir la notion d’algorithme asymptotiquement optimal comme un algorithme dont le regret atteint cette borne inférieure. Dans cette thèse, nous proposons pour deux algorithmes d’inspiration bayésienne, Bayes-UCB et Thompson Sampling, une analyse à temps fini dans le cadre des modèles de bandit à récompenses binaires, c’est-à-dire une majoration non asymptotique de leur regret. Cette majoration permetd’établir l’optimalité asymptotique des deux algorithmes. Dans le cadre de l’identification des meilleurs bras, on peut chercher à déterminer le nombre total d’échantillons des bras nécessaires pour identifier, avec forte probabilité, le ou les meilleurs bras, sans la contrainte de maximiser la somme des observations. Nous définissons deux termes de complexité pour l’identification des meilleurs bras dans deux cadres considérés dans la littérature, qui correspondent à un budget fixé ou à un niveau de confiance fixé. Nous proposons de nouvelles bornes inférieures sur ces complexités, et nous analysons de nouveaux algorithmes, dont certains atteignent les bornes inférieures dans des cas particuliers de modèles de bandit à deux bras, et peuvent donc être qualifiés d’optimaux