Étude asymptotique des processus de branchement sur-critiques en environnement aléatoire.

The purpose of this Ph.D. thesis is the study of branching processes in a random environment, say $(Z_n)$, which are a generalization of the Galton-Watson process, with the reproduction law chosen randomly in each generation in an i.i.d. manner. We consider the case of a supercritical process, assuming the condition that each individual gives birth to at least one child.The first part of this work is devoted to the study of the relative and absolute distance between the normalized process $\log Z_n$ and the normal law. We show a Berry-Esseen bound and establish a Cram\'er type large deviation expansion, which generalize the central limit theorem and the moderate deviation principle established for $\log Z_n$ in previous studies.In the second chapter we study the asymptotic of the distribution of $Z_n$, and the critical value for the existence of harmonic moments of the limit variable $W$ of the normalized population size $W_n = Z_n/ \mathbb{E}_{\xi} Z_n$. We give an equivalent of the asymptotic distribution of $Z_n$ and characterize the constants by a functional relation which is similar to that obtained for a Galton-Watson process. For a branching process in a random environment, our result generalizes the equivalent of the asymptotic distribution of $Z_n$ established in a previous work in a log-scale, under the condition that each individual gives birth to at least one child.We also characterize the critical value for the existence of harmonic moments of the limit variable $W$ under weaker conditions that in previous studies and generalize this result for processes starting with $Z_0=k$ initial individuals. \\The third chapter is devoted to the study of the asymptotic of the harmonic moments of order $r>0$ of $Z_n$. We show the exact decay rate of the quantity $\mathbb{E} [Z_n^r|Z_0=k]$ and give an expression of the limiting constants. The result reveals a phase transition phenomenon which is linked to the phase transitions in the lower large deviations established in earlier studies. As an application, we improve a lower large deviation result for the process $(Z_n)$ under weaker hypothesis than those stated in the literature. Moreover, we also improve the rate of convergence in a central limit theorem for $W-W_n$ and give the asymptotic of the large deviation for the ratio $Z_{n+1}/Z_n$.L'objet de cette thèse concerne l'étude des processus de branchement en environnement aléatoire, notés $(Z_n)$, qui sont une généralisation du processus de Galton-Watson, avec une loi de reproduction choisie aléatoirement et de manière indépendante et identiquement distribuée suivant les générations.Nous considérons le cas d'un processus sur-critique, avec la condition que chaque individu donne naissance à au moins un enfant. Le premier chapitre est consacré à l'étude de l'écart relatif et absolu entre le processus $\log Z_n$ normalisé et la loi normale. Nous établissons un résultat de type Berry-Esseen ainsi qu'un développement pour des déviations de type Cramér, généralisant ainsi le théorème central limite et le principe des déviations modérées pour $\log Z_n$ établis précédemment dans la littérature. Le second chapitre étudie l'asymptotique de la distribution du processus $Z_n$ ainsi que le moment harmonique critique de la limite $W$ de la population normalisée $W_n = Z_n/ \mathbb{E}_{\xi} Z_n$. Nous établissons un équivalent de l'asymptotique de la distribution du processus $Z_n$ et donnons une caractérisation des constantes via une équation fonctionnelle similaire au cas du processus de Galton-Watson. Dans le cas des processus de branchement en environnement aléatoire, les résultats améliorent l'équivalent asymptotique de la distribution de $Z_n$ établi dans des travaux antérieurs sous normalisation logarithmique, sous la condition que chaque individu donne naissance à au moins un individu. Nous déterminons aussi la valeur critique pour l'existence du moment harmonique de $W$ sous des conditions simples d'existence de moments, qui sont bien plus faibles que les hypothèses imposées dans la littérature, et généralisons le résultat à $Z_0=k$ individus initiaux. Le troisième chapitre est consacré à l'étude de l'asymptotique des moments harmoniques d'ordre $r>0$ de $Z_n$. Nous établissons un équivalent et donnons une expression des constantes. Le résultat met en évidence un phénomène de transition de phase, relié aux transitions de phase des grandes déviations inférieures du processus $(Z_n)$. En application de ce résultat, nous établissons un résultat de grandes déviations inférieures pour le processus $(Z_n)$ sous des hypotèses plus faibles que celles imposées dans des travaux précédents.Nous améliorons également la vitesse de convergence dans un théorème central limite vérifié par $W_n-W$, et déterminons l'asymptotique de la probabilité de grandes déviations pour le ratio $Z_{n+1}/Z_n$