Optimisation de formes et problèmes spectraux

We study some shape optimization problems associated to spectral and geometric functionals from both theoretical and numerical points of view. One of the main ideas is to provide Gamma-convergence frameworks allowing the construction of numerical approximation methods for the quantities we wish to optimize. In particular, these numerical methods are applied to the study of the Dirichlet-Laplace eigenvalues under perimeter constraint in two and three dimensions and to optimization problems concerning multiphase configurations and partitions in the plane and on three dimensional surfaces.As well, we focus on the analysis of the Steklov spectrum in different geometric classes of domains. Together with the study of existence of extremal domains and the spectral stability under geometric perturbations, we develop methods based on fundamental solutions in order to compute numerically the spectrum. A detailed analysis of the numerical method shows that we get an important precision, while the computation time is significantly decreased compared to mesh-based methods. This approach is extended to the computation of Wentzell and Laplace-Beltrami eigenvalues.Nous étudions dans cette thèse des problèmes d'optimisation de formes associés à des fonctionnelles spectrales et géométriques. L’étude porte à la fois sur des points de vue théoriques et numériques. L’idée générale est ici de proposer des résultats de Gamma-convergence qui permettent de construire des approximations numériques pour des quantités que l'on cherche à optimiser. En particulier, ces méthodes numériques sont appliquées à l’étude des minimiseurs des valeurs propres de l’opérateur Laplacien-Diriclet sous contrainte de périmètre en dimension deux et trois. Une autre classe de problèmes traités concerne les problèmes multiphasiques et les partitions optimales dans le plan et sur des surfaces tri-dimensionnelles.On présente aussi une analyse du spectre de l’opérateur Steklov en rapport avec différentes classes géométriques de domaines. Une partie de cette analyse concerne le problème de l'existence de domaines extrémaux et la stabilité spectrale sous perturbations géométriques. Une deuxième partie de l’étude est liée au développement des méthodes basées sur des solutions fondamentales qui permettent d’évaluer numériquement le spectre d'un opérateur. Une analyse détaillée de la méthode numérique montre qu'on obtient une précision de calcul importante et une économie en temps d’exécution significative par rapport aux méthodes utilisant des maillages. Cette approche est étendue au calcul du spectre des opérateurs de Wentzell et de Laplace-Beltrami