Singular solutions in optimal control: second order conditions and a shooting algorithm

In this article we study optimal control problems for systems that are affine in one part of the control variable. Finitely many equality and inequality constraints on the initial and final state are considered. We investigate singular solutions for this class of problems. First, we obtain second order necessary and sufficient conditions for weak optimality. Afterwards, we propose a shooting algorithm and show that the sufficient condition above-mentioned is also sufficient for the local quadratic convergence of the algorithm.Dans ce travail on étudie le problème de commande optimale avec un système affine dans une partie de la commande. On considère un nombre fini de contraintes d'égalité et d'inégalité sur les valeurs initiales et finales de l'état. On étudie des solutions singulières pour cette famille de problèmes. Premièrement on donne des conditions nécessaire et suffisante du second ordre pour optimalité faible. Ensuite, on propose un algorithme de tir et on montre que la condition suffisante mentionnée garantit que cet algorithme converge localement quadratiquement