Méthodes de théorie des modèles pour l'étude de groupes topologiques

This thesis gathers different works approaching subjects of topological dynamics by means of logic and descriptive set theory, and conversely. The first part is devoted to the study of Roelcke precompact Polish groups, which are the same as the automorphism groups of N0-categorical structures. They form a rich family of examples of infinite-dimensional topological groups, including several interesting permutation groups, isometry groups and homeomorphism groups of distinguished mathematical objects. Building on previous work of Ben Yaacov and Tsankov, we develop a model-theoretic translation of several dynamical aspects of these groups. Then we use this translation to obtain a precise understanding, in this case, of the dynamical hierarchy studied by Glasner and Megrelishvili. Later, with I. Ben Yaacov and T. Tsankov, we provide a model-theoretic description of the Hilbert-compactification of oligomorphic groups, and we give a characterization of Eberlein oligomorphic groups. We also study automorphism groups of randomized structures, as well the separable models of the theory of beautiful pairs of randomizations. The second part, with J. Melleray, studies full groups of minimal homeomorphisms of the Cantor space and their invariant measures. We show that full groups of minimal homeomorphisms do not admit a Polish group topology, and are moreover non-Borel subsets of the homeomorphism group of the Cantor space. We then study the closures of full groups by means of Fraïssé theory. Finally, we give a characterization of the sets of invariant measures of minimal homeomorphisms of the Cantor spaceCette thèse rassemble des travaux qui abordent des sujets de la dynamique topologique par le biais de la logique et de la théorie descriptive des ensembles, et réciproquement. La première partie est consacrée à l'étude des groupes polonais Roelcke précompacts. Cette famille comprend plusieurs groupes de permutations, d'isométries et d'homéomorphismes d'objets mathématiques distingués. Basés sur des travaux précédents de Ben Yaacov et Tsankov, nous développons une traduction modèle-théorique de plusieurs aspects dynamiques de ces groupes. Puis nous utilisons cette traduction pour obtenir une compréhension précise, dans ce cas, de la hiérarchie dynamique étudiée par Glasner et Megrelishvili. Ensuite (avec I. Ben Yaacov et T. Tsankov), nous donnons une description modèle-théorique de la compactification hilbertienne des groupes oligomorphes, et nous caractérisons les groupes oligomorphes Eberlein. Nous étudions également les groupes d'automorphismes des structures randomisées, ainsi que les modèles séparables de la théorie des belles paires de randomisations. Dans la deuxième partie (avec J. Melleray), nous étudions les groupes pleins d'homéomorphismes minimaux de l'espace de Cantor et leurs mesures invariantes. Nous montrons que les groupes pleins des homéomorphismes minimaux n'admettent pas de topologie polonaise, puis qu'ils sont des sous-ensembles non-boréliens du groupe d'homéomorphismes de l'espace de Cantor. Ensuite, nous étudions les clôtures des groupes pleins au moyen de la théorie de Fraïssé. Finalement, nous donnons une caractérisation des ensembles de mesures invariantes des homéomorphismes minimaux de l'espace de Canto