Algebraic geometry methods in Kinematics: Mobile Pods

Kinematics, understood as the study of the mobility of mechanical devices, or linkages}, has always interested mathematicians, and in particular algebraic geometers. Since the 19th century, algebraic and geometric techniques have been developed to classify such mechanisms and to investigate the existence of new families. Important results have been achieved so far, as for example the classification of mobile closed chains composed of at most five rods and connected by revolute joints, or several algorithms that are currently used in robotics. In this work we describe two techniques, called bond theory and Möobius photogrammetry, for the study of a particular class of linkages, namely pods, devices constituted of two rigid bodies, called the base and the platform, connected by several rods, called legs, that are attached to the base and the platform via spherical joints. We show how bond theory provides necessary conditions for the mobility of pods in terms of the geometry of its base and platform, and how Möbius photogrammetry can refine these conditions in the case of pentapods, i.e. pods with five legs, with unexpected mobility. The combined use of these two methods, together with some elementary facts from liaison theory - which describes the properties of two algebraic varieties whose union is a complete intersection - yields a construction for a new family of mobile hexapods, i.e. pods with six legs. By employing some recent results on spectrahedra - objects that arise in the context of semidefinite programming - we show that it is possible to obtain a concrete instance of a mobile icosapod, namely a pod with 20 legs. The approach we use is mainly geometric: the starting point for bond theory is to associate to every pod a subvariety of a fixed projective variety - that encodes all the possible configurations of the pod - and to study some of its points that are "limits" of configurations; in Möbius photogrammetry, we attach to every tuple of points in real space a complex curve reflecting how the orthogonal projections of such points behave under Möbius transformations. In both situations, the driving principle is to exploit the presence of complex structures in problems that arise from real situations - namely for which the input data can be encoded via real numbers.Kinematik, verstanden als die Untersuchung der Mobilität von mechanischen Vorrichtungen, oder Gestängen, hat Mathematiker immer schon interessiert, insbesondere algebraische Geometer. Seit dem 19. Jahrhundert werden algebraische und geometrische Techniken entwickelt, um solche Mechanismen zu klassifizieren und die Existenz von neuen Familien zu untersuchen. Wichtige Ergebnisse wurden bereits erreicht, wie zum Beispiel die Klassifizierung der beweglichen geschlossenen Ketten bestehend aus höchstens fünf Stangen und verbunden durch Drehgelenke, oder verschiedene Algorithmen, die derzeit in der Robotik eingesetzt werden. In dieser Arbeit beschreiben wir zwei Methoden, nämlich Bond-Theorie und Möbius-Photogrammetrie, für das Studium einer bestimmten Klasse von Gestängen, nämlich Poden, welche aus zwei starren Körpern gebildet weden, die sogenannte Basis und die Plattform, verbunden durch mehrere Stangen, die sogenannten Beine, die an der Basis und an der Plattform mit sphärische Gelenken befestigt werden. Wir zeigen, wie Bond-Theorie für die Mobilität von Gestängen in Bezug auf die Geometrie von deren Basis und Plattform notwendigen Voraussetzungen liefert, und wie Möbius-Photogrammetrie diese Bedingungen im Fall von Pentapoden, das heißt Gestängen mit fünf Beinen, mit unerwarteter Mobilität verfeinern kann. Die kombinierte Verwendung dieser beiden Methoden, zusammen mit einigen elementaren Fakten aus Liaison-Theorie - die die Eigenschaften von zwei algebraische Varietäten, deren Vereinigung ein kompletter Durchschnitt ist, beschreibt - ergibt eine Konstruktion für eine neue Familie von mobilen Hexapoden, das heißt Gestängen mit sechs Beinen. Durch den Einsatz einiger aktueller Ergebnisse über spectrahedra - Objekte, die im Zusammenhang mit der semidefiniten Programmierung entstehen - zeigen wir, dass es möglich ist, eine konkrete Instanz eines mobilen Icosapods, nämlich eines Gestänges mit 20 Beinen, zu erhalten. Der Ansatz, den wir verwenden, ist in erster Linie geometrisch: Ausgangspunkt für die Bond-Theorie ist, jedem Pod eine Teilvarietät einer festen projektiven Varietät - die alle möglichen Konfigurationen des Pods kodiert - zuzuordnen und einige ihrer Punkte, die "Grenzwerte" von Konfigurationen sind, zu studieren; in Möbius-Photogrammetrie, fügen wir zu jeden Tupel von Punkten im reellen Raum eine komplexe Kurve dazu, die das Verhalten der orthogonalen Projektionen dieser Punkte unter Möbius Transformationen widerspiegelt. In beiden Situationen ist der Schüsselfaktor, das Vorhandensein von komplexen Strukturen in Problemen, die in reellen Situationen - nämlich für die die Eingangsdaten durch reelle Zahlen codiert werden - auftreten, auszunutzen.eingereicht von Matteo GalletAbweichender Titel laut Übersetzung der Verfasserin/des VerfassersIn Zusammenarbeit mit dem Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics (RICAM)Universität Linz, Dissertation, 2016OeBB(VLID)161184