Second-order necessary and sufficient optimality conditions for opti- mality conditions for optimization problems and applications to control theory

Abstract. We consider an abstract formulation for optimization problems in some Lp spaces. The variables are restricted by pointwise upper and lower bounds and by finitely many equality and in-equality constraints of functional type. Second-order necessary and sufficient optimality conditions are established, where the cone of critical directions is arbitrarily close to the form which is expected from the optimization in finite dimensional spaces. The results are applied to an optimal control problem governed by a partial differential equation. Finally we compare the conditions obtained by applying this abstract procedure and those ones derived by using the methods adapted to the optimal control problem. Résumé. Nous considérons des problèmes d’optimisation formulés de manière abstraite dans des espaces de type Lp. Les variables doivent vérifier des contraintes ponctuelles de borne supérieure et inférieure, ainsi qu’un nombre fini de contraintes d’égalite ́ et d’inégalite ́ fonctionnelles. Nous établissons des conditions nécessaires et des conditions suffisantes d’optimalité, dans lesquelles le cône des direc-tions critiques est arbitrairement proche de la forme dérivée des résultats d’optimisation en dimension finie.Les résultats sont appliqués a ̀ des problèmes de contrôle optimal gouvernés par des équations aux dérivées partielles. Finalement nous comparons ces conditions avec celles obtenues par des méthodes adaptées a ̀ la forme spécifique des problèmes de contrôle