Modélisation de grands réseaux de neurones par processus de Hawkes

How does the brain compute complex tasks? Is it possible to create en artificial brain? In order to answer these questions, a key step is to build mathematical models for information processing in the brain. Hence this manuscript focuses on biological neural networks and their modelling. This thesis lies in between three domains of mathematics - the study of partial differential equations (PDE), probabilities and statistics - and deals with their application to neuroscience. On the one hand, the bridges between two neural network models, involving two different scales, are highlighted. At a microscopic scale, the electrical activity of each neuron is described by a temporal point process. At a larger scale, an age structured system of PDE gives the global activity. There are two ways to derive the macroscopic model (PDE system) starting from the microscopic one: by studying the mean dynamics of one typical neuron or by investigating the dynamics of a mean-field network of $n$ neurons when $n$ goes to infinity. In the second case, we furthermore prove the convergence towards an explicit limit dynamics and inspect the fluctuations of the microscopic dynamics around its limit. On the other hand, a method to detect synchronisations between two or more neurons is proposed. To do so, tests of independence between temporal point processes are constructed. The level of the tests are theoretically controlled and the practical validity of the method is illustrated by a simulation study. Finally, the method is applied on real dataComment fonctionne le cerveau ? Peut-on créer un cerveau artificiel ? Une étape essentielle en vue d'obtenir une réponse à ces questions est la modélisation mathématique des phénomènes à l'œuvre dans le cerveau. Ce manuscrit se focalise sur l'étude de modèles de réseaux de neurones inspirés de la réalité.Cette thèse se place à la rencontre entre trois grands domaines des mathématiques - l'étude des équations aux dérivées partielles (EDP), les probabilités et la statistique - et s'intéresse à leur application en neurobiologie. Dans un premier temps, nous établissons les liens qui existent entre deux échelles de modélisation neurobiologique. À un niveau microscopique, l'activité électrique de chaque neurone est représentée par un processus ponctuel. À une plus grande échelle, un système d'EDP structuré en âge décrit la dynamique moyenne de ces activités. Il est alors montré que le modèle macroscopique peut se retrouver de deux manières distinctes : en étudiant la dynamique moyenne d'un neurone typique ou bien en étudiant la dynamique d'un réseau de $n$ neurones en champ-moyen quand $n$ tend vers l’infini. Dans le second cas, la convergence vers une dynamique limite est démontrée et les fluctuations de la dynamique microscopique autour de cette limite sont examinées. Dans un second temps, nous construisons une procédure de test d'indépendance entre processus ponctuels, ces derniers étant destinés à modéliser l'activité de certains neurones. Ses performances sont contrôlées théoriquement et vérifiées d'un point de vue pratique par une étude par simulations. Pour finir, notre procédure est appliquée sur de vraies donnée