Processus stochastiques, Convexité et Inégalités fonctionnelles

Ce document constitue une synthèse de mes travaux, lesquels portent essentiellement sur les processus stochastiques et leurs interactions avec les inégalités fonctionnelles. Cette interaction s'exprime de deux manières. D'une part une inégalité fonctionnelle de type log-Sobolev ou Poincaré donne des informations sur le comportement en temps long d'un processus de Markov donné. D'un autre côté le calcul stochastique s'avère être un outil puissant pour démontrer des inégalités. De manière plus spécifique, on établit notamment une formule stochastique pour l'entropie relative d'une mesure par rapport à la mesure gaussienne et on montre qu'un certain nombre d'inégalités fonctionnelles bien connues (inégalités de log-Sobolev, de Talagrand, de Prékopa-Leindler) en découle facilement. On généralise aussi cette formule au cas du mouvement Brownien sur une variété ce qui permet en particulier de retrouver l'inégalité de log-Sobolev sous une condition de courbure positive. La méthode permet également d'améliorer légèrement un résultat d'Eldan et Lee, qui ont récemment résolu la version gaussienne d'une conjecture de Talagrand sur une propriété de régularisation de certains semi-groupes. On se penche également sur des questions d'échantillonnage de mesures log-concaves en grande dimension. On présente en effet un travail en commun avec Bubeck et Eldan, qui montre qu'une version discrétisée du mouvement Brownien réfléchi à la frontière d'un convexe de grande dimension permet d'approcher la mesure uniforme sur ce convexe en un temps polynomial