O problema de Riemann Hilbert para polinómios ortogonais

Mestrado em MatemáticaNesta dissertação estudamos a aplicação do Problema de Riemann-Hilbert na teoria de Polinómios Ortogonais. Com esse efeito, abordamos vários tópicos essenciais para clarificar esta técnica. O texto está dividido em quatro capítulos, Preliminares de Análise Complexa, Problemas de Valores de Fronteira, Teoria Geral dos Polinómios Ortogonais, e O Problema de Riemann-Hilbert nos Polinómios Ortogonais. Apresentamos uma série de resultados fundamentais de Análise Complexa, entre os quais, uma extensão do teorema de Riemann em singularidades removíveis, a fórmula de Cauchy em domínios ilimitados, o principio do prolongamento analítico, e exemplos de Superfícies de Riemann. Formulamos o Problema de Riemann-Hilbert, e estudamos a sua solução típica, a Transformada de Cauchy, sobre vários tipos de curvas e famílias de funções. A este propósito definimos o integral singular no sentido de Cauchy, e o seu valor principal, e deduzimos as designadas fórmulas de Sokhotski- Plemelj . Sobre a teoria de Polinómios Ortogonais, apresentamos alguns resultados básicos de polinómios ortogonais sobre a recta real e sobre a circunferência unitária. Estudamos, também, a teoria apresentada por Szegö e mostramos resultados sobre o comportamento assimptótico dos polinómios ortogonais que esta teoria permite obter. Finalmente, estudamos o designado por método de Riemann-Hilbert, que usamos para determinar o comportamento assimptótico (forte) dos polinómios ortogonais. Este método consiste em caracterizar os polinómios ortogonais em termos de um problema de Riemann-Hilbert (i.e., em termos de uma matriz de funções analíticas com um salto sobre uma curva γ ) e, depois, em transformar sucessivamente o problema de Riemann-Hilbert inicial noutros problemas de Riemann-Hilbert sobre um conjunto de curvas deformadas com saltos mais simples. Fazemos a aplicação deste método aos polinómios ortogonais correspondentes à função peso w(x) ( x ) h(x) 1 2 1/ 2 − = − (onde x∈[−1,1] e h é uma função real, analítica e estritamente positiva sobre [−1,1]), e obtemos resultados assimptóticos para os polinómios ortogonais mónicos e para os coeficientes principais dos polinómios ortonormais.In this dissertation we study the application of the Riemann-Hilbert problem in the theory of Orthogonal Polynomials. With that objective, we board several essential subject helpful to clarify this technique. This work is divided in four chapters, Preliminaries of Complex Analysis, Boundary Value Problems, General Theory of Orthogonal Polynomials, The Riemann-Hilbert problem in Orthogonal Polynomials. We present a number of basic facts of Complex Analysis, such as the Riemann’s theorem on removable singularities, the Cauchy’s formula for unbounded domains, the analytic continuation principle, and some examples of Riemann Surfaces. We formulate the Riemann-Hilbert problem, and study its typical solution, the Cauchy transform on several kind of contours and families of functions. We also define the singular integral in Cauchy sense, and the main principal value, and we deduce the Sokhotski-Plemelj formulas. About the Orthogonal Polynomials theory, we present some basic results on orthogonal polynomials on the real line and on the unit circle. We also study the Szegö’s theory and show some results about the asymptotic behaviour of orthogonal polynomials that are possible to get with this theory. Finally we study the so-called Riemann-Hilbert method, that we use its for finding the (strong) asymptotic behaviour of orthogonal polynomials. This method consist in characterising the Orthogonal Polynomials in terms of the Riemann-Hilbert problem (i.e., as a boundary value problem for a matrix valued analytic functions with jump on a contour γ ), and then to transform successively the initial Riemann-Hilbert problem to another equivalent Riemann-Hilbert problem on a deformed set of contours with simpler jumps. We apply this method to the orthogonal polynomials corresponding to the weight function w(x) ( x ) h(x) 1 2 1/ 2 − = − (with x∈[−1,1] and h real analytic function and strictly positive on [−1,1]), and we get asymptotics formulas for the monic orthogonal polynomials and for the leading coefficients of the orthonormal polynomials