Fluid queues: building upon the analogy with QBD processes

Les files d'attente fluides sont des processus markoviens à deux dimensions, où la première composante, appelée le niveau, représente le contenu d'un réservoir et prend des valeurs continues, et la deuxième composante, appelée la phase, est l'état d'un processus markovien dont l'évolution contrôle celle du niveau. Le niveau de la file fluide varie linéairement avec un taux qui dépend de la phase et qui peut prendre n'importe quelle valeur réelle.Dans cette thèse, nous explorons le lien entre les files fluides et les processus QBD, et nous appliquons des arguments utilisés en théorie des processus de renouvellement pour obtenir la distribution stationnaire de plusieurs modèles fluides.Nous commençons par l'étude d'une file fluide avec un réservoir de taille infinie; nous déterminons sa distribution stationnaire, et nous présentons un algorithme permettant de calculer cette distribution de manière très efficace. Nous observons que la distribution stationnaire de la file fluide de capacité infinie est très semblable à celle d'un processus QBD avec une infinité de niveaux. Nous poursuivons la recherche des similarités entre les files fluides et les processus QBD, et nous étudions ensuite la distribution stationnaire d'une file fluide de capacité finie. Nous montrons que l'algorithme valable pour le cas du réservoir infini permet de calculer toutes les quantités importantes du modèle avec un réservoir fini.Nous considérons ensuite des modèles fluides plus complexes, de capacité finie ou infinie, où le comportement du processus markovien des phases peut changer lorsque le niveau du réservoir atteint certaines valeurs seuils. Nous montrons que les méthodes développées pour des modèles classiques s'étendent de manière naturelle à ces modèles plus complexes.Pour terminer, nous étudions les conditions nécessaires et suffisantes qui mènent à l'indépendance du niveau et de la phase d'une file fluide de capacité infinie en régime stationnaire. Ces résultats s'appuient sur des résultats semblables concernant des processus QBD.Markov modulated fluid queues are two-dimensional Markov processes, of which the first component, called the level, represents the content of a buffer or reservoir and takes real values; the second component, called the phase, is the state of a Markov process which controls the evolution of the level in the following manner: the level varies linearly at a rate which depends on the phase and which can take any real value.In this thesis, we explore the link between fluid queues and Quasi Birth-and-Death (QBD) processes, and we apply Markov renewal techniques in order to derive the stationary distribution of various fluid models.To begin with, we study a fluid queue with an infinite capacity buffer; we determine its stationary distribution and we present an algorithm which performs very efficiently in the determination of this distribution. We observe that the equilibrium distribution of the fluid queue is very similar to that of a QBD process with infinitely many levels. We further exploit the similarity between the two processes, and we determine the stationary distribution of a finite capacity fluid queue. We show that the algorithm available in the infinite case allows for the computation of all the important quantities entering in the expression of this distribution.We then consider more complex models, of either finite or infinite capacities, in which the behaviour ff the phase process may change whenever the buffer is empty or full, or when it reaches certain thresholds. We show that the techniques that we develop for the simpler models can be extended quite naturally in this context.Finally, we study the necessary and sufficient conditions that lead to the independence between the level and the phase of an infinite capacity fluid queue in the stationary regime. These results are based on similar developments for QBD processes.Doctorat en sciences, Spécialisation mathématiques