Contribution à l'estimation des modèles VARMA à coefficients dépendant du temps.

Dans cette thèse, nous étudions l’estimation de modèles autorégressif-moyenne mobilevectoriels ou VARMA, `a coefficients dépendant du temps, et avec une matrice de covariancedes innovations dépendant du temps. Ces modèles sont appel´es tdVARMA. Les élémentsdes matrices des coefficients et de la matrice de covariance sont des fonctions déterministesdu temps dépendant d’un petit nombre de paramètres. Une première partie de la thèseest consacrée à l’étude des propriétés asymptotiques de l’estimateur du quasi-maximumde vraisemblance gaussienne. La convergence presque sûre et la normalité asymptotiquede cet estimateur sont démontrées sous certaine hypothèses vérifiables, dans le cas o`u lescoefficients dépendent du temps t mais pas de la taille des séries n. Avant cela nous considérons les propriétés asymptotiques des estimateurs de modèles non-stationnaires assezgénéraux, pour une fonction de pénalité générale. Nous passons ensuite à l’application deces théorèmes en considérant que la fonction de pénalité est la fonction de vraisemblancegaussienne (Chapitre 2). L’étude du comportement asymptotique de l’estimateur lorsqueles coefficients du modèle dépendent du temps t et aussi de n fait l’objet du Chapitre 3.Dans ce cas, nous utilisons une loi faible des grands nombres et un théorème central limitepour des tableaux de différences de martingales. Ensuite, nous présentons des conditionsqui assurent la consistance faible et la normalité asymptotique. Les principauxrésultats asymptotiques sont illustrés par des expériences de simulation et des exemplesdans la littérature. La deuxième partie de cette thèse est consacrée à un algorithme qui nouspermet d’évaluer la fonction de vraisemblance exacte d’un processus tdVARMA d’ordre (p, q) gaussien. Notre algorithme est basé sur la factorisation de Cholesky d’une matricebande partitionnée. Le point de départ est une généralisation au cas multivarié de Mélard(1982) pour évaluer la fonction de vraisemblance exacte d’un modèle ARMA(p, q) univarié. Aussi, nous utilisons quelques résultats de Jonasson et Ferrando (2008) ainsi que les programmes Matlab de Jonasson (2008) dans le cadre d’une fonction de vraisemblancegaussienne de modèles VARMA à coefficients constants. Par ailleurs, nous déduisons quele nombre d’opérations requis pour l’évaluation de la fonction de vraisemblance en fonction de p, q et n est approximativement le double par rapport à un modèle VARMA à coefficientsconstants. L’implémentation de cet algorithme a été testée en comparant ses résultats avecd’autres programmes et logiciels très connus. L’utilisation des modèles VARMA à coefficientsdépendant du temps apparaît particulièrement adaptée pour la dynamique de quelquesséries financières en mettant en évidence l’existence de la dépendance des paramètres enfonction du temps.Doctorat en Sciences