On some aspects of random walks in random environment

Diese Dissertation besteht aus drei Forschungsartikeln, welche verschiedene Aspekte von Irrfahrten in zufälligen Umgebungen behandeln. Im ersten Teil betrachten wir zwei Arten von Markovketten die Fallen aufweisen, und wir studieren dazugehörige Grenzprozesse und das Phänomen des Alterns. Im zweiten Teil analysieren wir die perkolativen Eigenschaften der Menge unbesuchter Knoten einer Irrfahrt auf einem endlichen Graphen. Der erste Artikel ist dem Studium der Metropolis-Dynamik auf dem einfachsten Mean-Field Spin-Glas, dem Random Energy Model, gewidmet. Wir zeigen dass diese Dynamik altert, indem wir zeigen dass der Zeitwechsel-Prozess zwischen der Metropolis-Dynamik und einer passend gewählten `schnellen' Markovkette in Verteilung zu einem stabilen Lévy-Prozess konvergiert. Dies liefert einen ersten Beweis für Altern einer gänzlich asymmetrischen Dynamik auf dem nicht-modifizierten Random Energy Model. Das Resultat des zweiten Artikels ist eine Klassifikation aller möglichen Grenzprozesse von Randomly Trapped Random Walks auf Z^d, d>=2. Wir zeigen, dass die möglichen Klassen von Grenzprozessen sich von vier in einer Dimension auf nur mehr zwei in höheren Dimensionen reduzieren. Insbesondere, wenn das diskrete Skelett des Randomly Trapped Random Walk die einfache Irrfahrt ist, dann ist der Grenzprozess entweder Braunsche Bewegung oder der Fractional Kinetics-Prozess. Im dritten Artikel zeigen wir, dass die Menge unbesuchter Knoten einer Irrfahrt auf der riesigen Komponente eines Erdös-Rényi Zufallsgraphen einen Phasenübergang durchläuft, ähnlich wie der klassische Phasenübergang in Bernoulli-Perkolation auf dem vollständigen Graphen. Zusätzlich zeigen wir, dass der kritische Punkt dieses Phasenübergangs in engem Bezug steht zum kritischen Wert von Random Interlacements auf dem zugehörigen Grenzobjekt unendlichen Volumens, einem Poisson-Galton-Watson-Baum.This thesis consists of three research papers which deal with various aspects of random walks in random environments. In the first part we consider two types of Markov chains that exhibit trapping, and we study associated scaling limits and the phenomenon of aging. In the second part we analyze percolative properties of the set of vertices that are not visited by the simple random walk on a finite graph, the so-called vacant set. The first paper studies the Metropolis dynamics of the simplest mean-field spin glass model, the Random Energy Model. We show that this dynamics exhibits aging by showing that the properly rescaled time-change process between the Metropolis dynamics and a suitably chosen `fast' Markov chain converges in distribution to a stable Lévy process. This provides a first proof for aging of a fully `asymmetric' dynamics on the non-modified Random Energy Model. The result of the second paper is a complete classification of the possible scaling limits of randomly trapped random walks on Z^d, d>=2. We show that the possible classes of scaling limits reduce from four in one dimension to only two in higher dimensions. In particular, in the case when the discrete skeleton of the randomly trapped random walk is a simple random walk on Z^d, the scaling limit is either Brownian motion or the Fractional Kinetics process. In the third paper we show that the vacant set left by the simple random walk on the giant component of a supercritical Erdös-Rényi random graph exhibits a phase transition similar to the classical phase transition of Bernoulli percolation on the complete graph. Moreover, we show that the critical point of this phase transition is closely related to the critical value of random interlacements on the corresponding infinite volume limit, which is a Poisson-Galton-Watson tree