Stochastic volatility models of financial markets

Kapitel 1 beschreibt die grundlegenden Ideen stochastischer Prozesse und erklärt einige Konzepte des Finanzwesen, der Statistik und der Finanzmathematik, wie z.B. europäische Optionen, Moneyness der Optionen, Volatilität, Volatilitäts Lächeln, risikoneutrale Wahrscheinlichkeit und den Feyman-Kac Satz. Kapitel 2 zeigt die Rahmenbedingungen einiger berühmter und weit verbreiteter mathematischer Modelle wie das Black-Scholes Modell, das Vasicek Modell, das Cox - Ingersoll - Ross Modell (meistens CIR Prozess genannt), Hull-White Modell, Heston und Nandi Modell, welches das einzige diskrete Modell in dieser aktuellen Studie ist, und Bates Modell, welches ein stochastisches Volatilität - Sprung - Diffusions Modell ist und eine Kombination von Merton und Heston Modelle darstellt. Kapitel 3 behandelt das Heston Modell mit allen wichtigen Konzepten. Insbesondere präsentiere ich in diesem Kapitel die Ableitung des Modells und beschreibe es detailliert. Ich stelle die risikoneutrale und partielle Differential Ansätze vor, sowie die geschlossene Lösung. Zusätzlich analysiere und beschreibe ich die Auswirkungen der Parameter auf die Modellergebnisse und erwähne alle beobachteten Vor - und Nachteile des Heston Modells. Kapitel 4 präsentiert die empirische Analyse in Zeiten der wirtschaftlichen Stabilität und der wirtschaftlichen Krise. Ich beschreibe die Daten, die ich für die Berechnung und Herleitung der Optionspreise verwendet habe, und zeige das Verfahren und die Art und Weise wie man die Heston und Balck-Scholes Modell Parameter findet. Zu diesem Zweck präsentiere ich die Ergebnisse, vergleiche die Heston und Black-Scholes Modelle und interpretiere die unterschiedlichen Ansätze. Zusätzlich schätze ich die empirischen Parameter und beweise, dass die Methode nicht ausreichend ist. Somit kann nur das Kalibrierungs- Verfahren für das Heston Modell verwendet werden.Chapter 1 describes the fundamental ideas about stochastic process and explains some basic concepts of finance, statistics and mathematical finance. Such as European style options, moneyness of options, volatility, volatility smile, risk-neutral probability and Feyman-Kac theorem. Chapter 2 demonstrates the frameworks of some famous and widely used and mathematical models such as Black-Scholes model, Vasicek model, Cox-Ingersoll- Ross model (very often called as CIR process), Hull-White model, Heston and Nandi model (which is the only one discrete model presented in this current study) and Bates model (which is stochastic volatility and jump-diffusion model as it is a combination of Merton and Heston models). Chapter 3 introduces the Heston model with all its important concepts. In particular, in this chapter I present the derivation of the model and give the precise description of it. Additionally I present risk-neutral and partial differential approaches and describe closed-form solution of the model. I also analyze the effect of model parameters on the final results and describe all observed advantages and disadvantages of the Heston model. Chapter 4 presents the empirical analysis during the periods of economical stability and economical crisis. I describe the data which I have chosen and have used for the calculation and derivation of option prices. I demonstrate the procedure and way of finding the Heston and Balck-Scholes model parameters. Moreover, I present and interpret the results, and compare the Heston and Black-Scholes approaches. Additionally, I do an empirical parameter estimation to prove that it is not a sufficient method of finding model parameters. Thus, only the calibrations method can be used for the finding of Heston model option prices