Numerical grids for spherical shells and other complex domains

In der vorliegenden Dissertation werden verschiedene Gitter vorgestellt, mit denen man numerische Simulationen auf Kugelschalen und anderen kugelförmigen Gebieten durchführen kann. Kartesische und sphärische Gitter, wie sie nahezu ausschließlich in der numerischen Astrophysik verwendet werden, sind für dieses Problem ineffizient oder nicht direkt anwendbar. Wenn man einen Stern mit einer kartesischen Box imschreibt, liegen etwa 50% des Volumens außerhalb der Kugel. Bei sphärischen Koordinatensystemen konvergieren Gitterlinien an den Polen und im Kern, was neben den analytischen noch schwer wiegende numerische Konsequenzen hat, da der Zeitschritt durch die kleinsten Gittermaschenweiten beschränkt wird. Überlappende Gitter lösen das Problem der Singularitäten, jedoch wird durch die Interpolation zwischen den Gittern entweder die Genauigkeitsordnung der numerischen Lösung beschränkt oder die numerische Erhaltung der Erhaltungsgrößen geht verloren. An den Übergängen zwischen den Gittern entsteht durch die Interpolation Rauschen, das die Stabilität der Simulation verschlechtert. Wir schlagen stattdessen die Verwendung von krummlinigen Koordinatensystemen vor. Mit Hilfe nichtglatter Abbildungsfunktionen können wir ein einziges strukturiertes Gitter erzeugen, das kreis- und kugelförmige Gebiete vollständig überdeckt. Wir legen dar, wie krummlinige Koordinaten in bestehende, für kartesische Koordinaten entwickelte Codes eingebaut werden können. Auf Grund der Nichtglattheit der Abbildungsfunktion sind die numerischen Fehler im Falle eines Finite Differenzen-Codes groß. Wir zeigen für einen WENO-Code sowohl theoretisch als auch durch numerische Experimente, dass eine Finite Volumen-Formulierung Ergebnisse mit guter Genauigkeit liefert, während eine Finite Differenzen-Formulierung zu inakzeptablen Fehlern führt. Ebenso zeigen wir für einen PPM-Code, dass die verschiedenen räumlichen Richtungen nicht nacheinander, sondern gleichzeitig zeitlich integriert werden müssen. Wenn diese Bedingungen erfüllt sind, liefern die verwendeten Codes zufriedenstellende Ergebnisse auf den vorgeschlagenen nichtglatten Gittern. Darüber hinaus untersuchen wir die Effizienz mehrerer expliziter Runge-Kutta-Schemata, die sich in Genauigkeitsordnung und den Fehlerkonstanten unterscheiden, für die Simulation von solarer Oberflächenkonvektion mit WENO-Methoden. Unter bestimmten Umständen führen die unterschiedlichen Fehlerkonstanten dazu, dass Zeitintegrationsverfahren niedriger Ordnung effizienter sind als solche höherer Ordnung.In this thesis, we present several ways to design numerical grids covering spherical shells and other complex domains. Cartesian and spherical grids which by now are nearly exclusively used in numerical astrophysics have certain deficiencies when applied to these domains. When applying Cartesian grids, around 50 % of the grid cells lie outside of the star. For spherical coordinate systems, grid lines converge at the poles and at the core, requiring special treatment of these regions and making the simulation inefficient due to converging grid lines resulting in small time steps. We can get rid of these problems using overlapping grids, but we either limit the accuracy of our solution or destroy the exact conservation of conserved properties by the interpolation between the grids. Noise is generated at the grid boundaries which adversely affects the stability of the simulation. Instead, we suggest to use curvilinear grids. Using non-smooth mapping functions, we can create a structured grid which completely covers circles or spheres. We show how these grids are implemented in simulation codes designed for Cartesian coordinate systems. Since the mapping functions we intend to use are non-smooth, the numerical errors are large when using a finite difference formulation. For a WENO code we show both theoretically and by numerical experiment that numerical results using a finite volume formulation are reasonably accurate, whereas the numerical error with the finite difference formulation is unacceptably large. Furthermore, we show using a PPM code that split time integration leads to huge errors, too, and present ways to rewrite existing codes to unsplit time integration schemes. If these conditions are fulfilled, the numerical results are satisfactory on the proposed non-smooth grids. As a side topic, we investigate the practical efficiency of several explicit Runge–Kutta scheme with differing order of accuracy and error constants for the problem of solar surface convection and with WENO schemes for spatial discretisation. We show that in some situations, higher order time integration schemes are less efficient than lower order ones due to smaller error constants