Calculation of the transition density of allele frequencies in probabilistic models in population genetics

Diese Diplomarbeit widmet sich der Berechnung der Wahrscheinlichkeitsdichte der Allelefrequenzen in einer Population über die Zeit innerhalb eines bi-allelischen Mo- dells mit Selektion und Drift. Dafür wird von einem Diffusions Modell ausgegangen, welches das Wright-Fisher und das Moran Modell approximiert. Die Dichte der Alle- lefrequenzen ist eine Lösung der Kolmogorov Vorwärts- und Rückwärtsgleichung, die sich aus dem Diffussions Modell ergibt. Eine Lösung zu diesen Gleichungen wurde bereits von Kimura (1955) gefunden. Der Lösungsweg von Kimura (1955) und von Song and Steinrücken (2012) wird beschrieben und ein weiterer Lösungansatz vorgestellt. Der neue Lösungsansatz basiert auf der Transformation der Kolmogorov Vorwärtsgleichung in die Differentialgleichung, die durch Sphäroidfunktionen gelöst wird. Im Anhang werden die unterschiedlichen Dichtefunktionen anhand von Simula- tionen und Graphiken verglichen.This theses is about the derivation of a formula for the densitiy of allele frequencies of a biallelic model with selection and drift. The starting point is the diffusion model approximating the Wright-Fisher and the Moran model. The allele frequency transition density is a solution of the Kolmogorov forward and backward equation resulting from the diffusion model. A solution by Kimura (1955) already exists. The methods of Kimura (1955) and Song and Steinrücken (2012) are described and a fur- ther method is proposed. The resulting functions are compared by simulations and graphs