A Compressed Sensing Based Approach On Discrete Algebraic Reconstruction Technique

Tez (Yüksek Lisans) -- İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2015Thesis (M.Sc.) -- İstanbul Technical University, Instıtute of Science and Technology, 2015Bilgisayarlı tomografide, x-ışınları ile taranan nesnenin iki boyutlu kesit görüntüsünün bir boyutlu izdüşüm veri kümesinden geri çatımı problemi, analitik yöntemlerle veya yinelemeli olarak çözülebilmektedir. Geleneksel filtreli ters izdüşüm tekniği (FBP) başta olmak üzere, bu amaçla kullanılan analitik yöntemler, merkezi kesit teoremine dayanmaktadır. Bu yöntemler hesaplama karmaşıklığının düşük olmasından dolayı tercih edilir olsalar da, Nyquist-Shannon kıstasını karşılayamayacak kadar sınırlı sayıda veya sınırlı açısal aralık ile toplanan izdüşümlerden kaliteli görüntüler elde etme konusunda başarısızdırlar. Ancak tomografik görüntülemede, bir görüntünün eksik izdüşüm verisinden eksiksize yakın bir şekilde geri çatımı, çeşitli kısıt ve gereksinimlerden dolayı kritik öneme sahiptir. Bu nedenle, cebirsel geriçatma ve norm optimizasyonu gibi yinelemeli yöntemler, çeşitli varsayımlar kullanıldığı takdirde eksik veri ile geri çatımı olanaklı kıldığı için, tercih edilmektedir. Cebirsel yöntemler, geriçatma problemini, değişkenlerin görüntünün ayrık bileşenleri (çoğunlukla pikseller) olduğu ve elde edilen izdüşümlerin denklemler ile ifade edildiği bir lineer denklem sistemi olarak formüle eder ve bu sistemin çözümüne yinelemeli olarak yakınsamaya çalışır. Bu sistemde her bir denklem bir izdüşüm ölçümünün, ilgili ışının taradığı piksellerin ağırlıklı toplamı olduğunu (buna doğru integrali de denmektedir) ifade eder. Bahsedilen lineer denklem sistemi için izdüşüm verisinin eksik olması durumunda, sistem kararsız özelliktedir ve tek bir çözümden bahsedilemez. Bu önerme uygulamada, bir izdüşüm veri kümesinin birden fazla imgeye ait olabileceği gerçeğine karşılık düşer. Bu tip kararsız sistemler için çözüm getiren Kaczmarz metodu, her iterasyonda mevcut kestirimi hiperdüzlemlere iz düşürerek güncellemeyi önermektedir. Cebirsel geriçatma tekniği (ART), eşzamanlı yinelemeli geriçatma tekniği (SIRT) ve eşzamanlı cebirsel geriçatma tekniği (SART) gibi cebirsel geriçatma algoritmaları, Kaczmarz metoduna dayanmaktadır. Toplanan izdüşüm verisi miktarı oldukça kısıtlı olduğunda bile kaliteli görüntüler elde edebilmek için, yinelemeli teknikler, önsel bilgi ve varsayımlardan faydalanarak yeniden geliştirilmektedir. Buna, bu çalışmanın da temelini oluşturan, ayrık tomografi (DT) alanı ve sıkıştırılmış algılama (CS) teoremine dayanan yöntemler örnek olarak gösterilebilir. Ayrık tomografi, görüntü bileşenlerinin sonlu ve ayrık bir değer kümesinden (ve hatta kimi durumlarda tanım kümesinden) geldiği varsayımı ile, ve taranan nesnenin az sayıda farklı yoğunluk derecelerinden oluştuğu önşartını koyarak, gereken izdüşüm verisini bir hayli azaltmayı amaçlamaktadır. Diğer taraftan, sıkıştırılmış algılama (CS) teoremini temel alan yöntemler ise, bir görüntünün kendisinin veya bilinen bir dönüşüm alanındaki temsilinin seyrek olduğu varsayımı ile, en seyrek çözümü bulmayı hedeflemektedir. Yukarıda bahsedilen amaçlarla geliştirilmiş ve ayrık tomografi alanında kullanılmakta olan ayrık cebirsel geriçatma tekniği (DART), birbirini izleyen; cebirsel geriçatma, geriçatma görüntüsünü ayrıklaştırma ve değişken azaltma aşamalarından oluşan bir algoritmaya sahiptir. Bu algoritmada her bir iterasyon için, ART, SART veya SIRT kullanılarak bir geriçatma görüntüsü hesaplanır ve sonrasında bu görüntü üzerinde, Otsu eşikleme algoritmasına göre histogram üzerinden elde edilen eşik değerler ve gerçek görüntüdeki gri seviyelere dair önsel bilgi parametreleri ile segmentasyon uygulanır. Burada, eşik değer belirleme amaçlı kullanılan Otsu yöntemi yerine, mevcut izdüşüm verisinden faydalanarak izdüşüm hatasını enküçültecek eşik değerlerini seçmeye yönelik bir yaklaşım da önerilmiştir. DART algoritması aynı zamanda her iterasyonda, sistemi daha az kararsız hale getirmek adına, segmentasyon sonrası yanlış değerlere atanmış olma ihtimali daha yüksek olan sınır bölgelerin dışındaki tüm pikselleri sabitler ve geriçatma işlemine sabitlenmeyen pikseller ile devam eder. Sıkıştırılmış algılama teoremini temel alan yöntemler ise seyrek olduğu bilinen sinyaller için, en seyrek çözümü bulmak adına sinyalin l1 normunu (l0- minimizasyonu ve l1 - minimizasyonu özdeşliğine dayanarak) enküçültmeye çalışır. Çoğu bilgisayarlı tomografi görüntüsünde olduğu gibi sinyalin kendisinin seyrek olmaması durumunda ise, sinyali seyrekleştiren dönüşümlerden faydalanılır ve bu sefer, sinyalin dönüştürüldüğü uzaydaki temsili için l1 - minimizasyonu uygulanır. Sinyalin seyrek temsilini frekans uzayında aramak için kullanılan dalgacık (Wavelet), Fourier gibi dönüşümler dışında, seyrekleştirmeyi imge uzayında gerçekleştiren dönüşümler de kullanılmaktadır. Toplam değişintinin minimizasyonu tekniği (TvMin), ikinci tipte bir dönüşüm olan ayrık gradyan dönüşümünden faydalanır. Ayrık gradyanın l1 normuna toplam değişinti (TV) denilmektedir ve amaç, bu toplam değişinti miktarını, izdüşüm hatasını da sıfıra yakın bir eşiğin altında tutacak şekilde enküçültmektir. En bilinen hali ile toplam değişinti minimizasyonu problemi, izdüşüm hatasını kısıt olarak kullanmak yerine, toplam değişinti terimi ile birlikte amaç fonksiyonuna dahil ederek formüle edilmektedir. TvMin tekniği, görüntünün yüksek frekanslı bileşenlerini koruyabilme özelliğinden dolayı, görüntü geriçatma ve gürültü giderme amacıyla, sıklıkla tercih edilmektedir. Bu çalışmada DART algoritmasını TvMin tekniğinden de faydalanarak geliştirmek amaçlanmış ve bu doğrultuda DART üzerinde bazı değişiklikler öneren bir algoritma sunulmuştur. Öncelikle, daha iyi bir ilk kestirim elde edebilmek amacıyla, DART'ta kullanılan cebirsel geriçatma yönteminin, sadece ilk kullanım için TvMin ile değiştirilmesi önerilmiştir. Bu sayede, tez kapsamında sunulmuş olan deney sonuçlarından da görülebileceği üzere, segmentasyona daha uygun bir görüntü elde edilebilmektedir. Ayrıca, önerilen algoritma, DART algoritmasının sürekli görüntüyü ayrıklaştırma amacıyla kullandığı segmentasyon yöntemi üzerinde durmakta ve bunun yerine kullanılabilecek iki aşamalı bir eşik değeri seçme prosedürü ileri sürmektedir. Histograma ve izdüşüm hatasına dayalı iki yaklaşımı birleştiren bu prosedürün ilk aşamasında, iki kademeli çok düzeyli Otsu (TSMO) algoritması kullanılarak, histogramdaki vadi sayısı kadar aday eşikleme değeri hesaplanmakta; ikinci aşamasında ise bu adaylar arasından, izdüşüm hatası ile birlikte toplam değişintiyi enküçülten eşik değeri seçilmektedir. Böylece hem geri çatılan görüntü hem de izdüşüm ölçümleri ile tutarlı eşik değerleri seçilebilmekte, gerçek görüntüye daha yakın sonuçlar hesaplanabilmektedir. Çalışma kapsamında ele alınan son nokta ise, ayrıklaştırmada kullanılacak olan gri seviyelerin önceden bilinmemesi veya yanlış bilinmesi halinde, algoritma tarafından tahmin edilebilmesi hususudur. Bu amaçla kullanılabilecek bir formülasyon sunulmuş ve gri seviyelerin, gerçek değerlerine oldukça yakın bir şekilde hesaplanabildiği, ilgili deney sonuçları ile gösterilmiştir. Deneylerde her biri iki gri seviyeden oluşan, beş farklı sentetik görüntü (fantom) kullanılmıştır. Önerilen algoritma, her bir fantom için, DART ve FBP algoritmaları ile sınırlı sayıda izdüşüm, sınırlı açısal aralık ve gürültülü veri gibi koşullar simüle edilerek karşılaştırılmıştır. Ek olarak, bu üç algoritmanın uzaysal çözünürlüğü, farklı frekanslara karşılık düşen test örüntüleri kullanılarak sınanmıştır. Uygulamaların tamamı MATLAB ortamında gerçeklenmiş olup, deneyleri sonuçları, grafikler ve elde edilen geriçatma görüntüleri kullanılarak sunulmuştur.Image reconstruction from incomplete projections has a crucial meaning in tomographic imaging field, due to some restrictions and requirements. Although the analytical methods, such as filtered backprojections (FBP), are preferable because of their low computational cost; they are not good at reconstructing satisfying images in case of limited number of projections and limited view. On the other hand, iterative methods (e.g. algebraic reconstruction technique (ART), norm optimization) makes the reconstruction from incomplete projection data possible. The ART (as well as its variations) models the reconstruction problem as a system of linear equations where the discretization points (i.e. pixels) of the image are variables and the equations represent the projections. For these algebraic reconstruction methods (abbreviated ARM), there is no unique solution due to the under-determined characteristic of the system, when the incomplete projection data is the case. Many iterative methods take some constraints into consideration and some of those methods suggest to exploit prior knowledge, if exists, in order to find the best approximation to the exact solution. The field of discrete tomography (DT) assumes that the variables have a range (and sometimes domain) of a finite and discrete set, whose element count is few and known a priori; and it aims to find a good quality solution even if the projection samples are highly reduced. Compressed sensing (CS) based methods, in the other respect, aims to find the sparsest solution by assuming the image is sparse in a known domain. Both approaches are used to be able to recover images from the projection data which doesn't satisfy the Nyquist-Shannon criterion. Discrete algebraic reconstruction technique (DART), which is a technique used in DT field and lies at the core of this study, accomplishes the goal stated above by combining a continuous ARM and a discretization scheme, in an iterative manner. In this study, the DART algorithm is investigated and it is combined with an initial total variation minimization (TvMin) technique, which is used to solve CS problems, to ensure a better initial guess. Also, the algorithm is extended with a segmentation procedure in which the threshold value, which simultaneously minimize both the projection error and the total variation (TV), is selected from a finite set of candidates, obtained using a histogram based thresholding scheme. Furthermore, the algorithm is extended with a gray level estimation procedure, which serves as an automatic determination of the gray levels to be used in the discretization step. A formulation is presented in order to approximate the exact gray levels and it is shown that the gray levels can almost be computed, even though they are not known in advance. All implementations are done using MATLAB environment. The proposed algorithm is compared to the DART and the FBP algorithms by the simulation experiments which are done under the conditions of limited number of projections, limited view and noisy projections, and the computational results are presented visually, either via the reconstructed images or the graphics.Yüksek LisansM.Sc