La théorie des courbes et des équations dans la Géométrie cartésienne : 1637-1661. [version corrigée]

Version corrigée incluant en préface l'exposé donné lors de la soutenance.In this thesis, we study three topics which appeared central to us in the Cartesian Geometry: the Pappus' problem, the problem of tangents and normals, and a problem of gnomonic known under the name of Problema Astronomicum. By "Cartesian Geometry", we understand the corpus formed not only by the Geometry, published in 1637, but also by the Cartesian Correspondence and the two Latin editions directed by Frans van Schooten, published respectively in 1649 and 1659-1661. We study the genesis of the theory of geometrical curves defined by algebraic equations in particular through the controversies which appear in the Cartesian correspondence: the controversy with Roberval about the Pappus' problem, the controversy with Fermat about tangents, and the controversy with Stampioen about the Problema astronomicum. We would thus like to show that the Geometry of the Correspondence constitutes a mean term between the Geometry of 1637 and the Latin editions of 1649 and 1659-1661, sheding light on stakes and difficulties of the creation process of the algebraic curve as object. Moreover, we examine Fermat's method for tangents and Descartes' method for normals, by referring them to a common matrix formed by Apollonius' Conics, more precisely, Book I and Book V devoted to a theory of minimal straight lines.Dans cette thèse, nous étudions trois thèmes qui nous sont apparus centraux dans la Géométrie cartésienne : le problème de Pappus, le problème des tangentes et des normales, et un problème de gnomonique connu sous le nom de Problema Astronomicum. Par " Géométrie cartésienne ", nous entendons le corpus formé non seulement par la Géométrie, publiée en 1637, mais également par la Correspondance cartésienne et les deux éditions latines placées sous la direction de Frans van Schooten, publiées respectivement en 1649 et 1659-1661. Nous étudions la genèse de la théorie des courbes géométriques définies par des équations algébriques en particulier à travers les controverses qui apparaissent dans la correspondance cartésienne : la controverse avec Roberval sur le problème de Pappus, la controverse avec Fermat sur les tangentes, et la controverse avec Stampioen sur le Problema astronomicum. Nous souhaitons ainsi montrer que la Géométrie de la Correspondance constitue un moyen terme entre la Géométrie de 1637 et les éditions latines de 1649 et 1659-1661, mettant en lumière les enjeux et les difficultés du processus de création de la courbe algébrique comme objet. D'autre part, nous examinons la méthode des tangentes de Fermat et la méthode des normales de Descartes, en les rapportant à une matrice commune formée par le traité des Coniques d'Apollonius, plus précisément, le Livre I et le Livre V consacré à une à théorie des droites minimales