Au milieu du gué : entre formation des enseignants et recherche en didactique des mathématiques

This text deals with three topics : teacher education, geometry teaching, problem solving, based on a common theme, mathematics teacher education for primary school (3-11 years). The question of weaving mathematics and didactics for teaching, and its transposition into teacher education are the thread of my text. My first research (1995) has defined an organization of primary prospective teacher educators practices into four principal types, different what concerns referred knowledge (mathematical, didactical or pedagogical), communication (conversational interchanges, problem solving...) and didactical references. It has analyzed what (mathematical theme...) determine the strategic choice of teacher educators. The first chapter refines the types of educator practices, refreshes the types of teacher knowledge and discusses their transposition for teacher education. It questions cyclical influences (influence of education policies, times). My research has pointed specific geometrical knowledge for teaching: the organization of elementary geometry in three Paradigms (different in their relationship to reality, the status given to the drawings and the type of proof) and Geometrical Working Spaces (GWS) that integrate the play between paradigms and provides a place for artefacts. The second chapter of the text stresses the potentiality of the ETG as a tool for comparison of curricula, as a tool for clarification of misunderstandings between student and teacher between levels of education. The third chapter addresses numerical school problems solving from several perspectives, institutional, epistemological, cognitive and didactical. It highlights resonances and frictions between these perspectives, studies some research and teaching practices. It discusses the relevance of a typology of problems in three types (redefined): basic, complex, non typical problems and emphasizes basic problem solving. The note concludes with the question of weaving mathematics and didactics especially crucial in practising teachers' education and teachers' development.Cette note revisite mes trois thèmes de recherche : pratiques de formation, enseignement de la géométrie, résolution de problèmes, fondés sur une thématique commune, la formation à l'enseignement des mathématiques à l'école primaire (3 à 11 ans). La question du tissage entre mathématiques et didactique pour l'enseignement, et sa transposition en formation des enseignants, sont mes fils conducteurs. Le premier chapitre reprend mes travaux de thèse (1995) qui ont proposé une organisation des pratiques de formation des professeurs des écoles en quatre types, différents quant au savoir visé (mathématique, didactique ou pédagogique), au mode de communication (cours dialogué, confrontation à un problème...), aux appuis didactiques. Ils ont analysé des déterminants stratégiques des choix des formateurs. Le chapitre affine cette catégorisation des pratiques et des savoirs mathématiques et didactiques des enseignants, interroge leur transposition en formation et questionne les influences conjoncturelles sur les pratiques de formation. Mes travaux géométriques ont pointé un savoir spécifique pour l'enseignant : l'organisation de la géométrie élémentaire en trois paradigmes (différents quant à leur relation au réel, le statut donné aux dessins et le type de preuve constitutive du paradigme) et l'Espace de Travail Géométrique (ETG) qui intègre les jeux entre paradigmes et donne une place aux artefacts. Le deuxième chapitre de la note revient sur la potentialité de l'ETG comme outil de comparaison de curricula, comme outil d'explicitation des malentendus entre élève et enseignant, entre ordres d'enseignement. Le troisième chapitre de la note aborde la résolution de problèmes numériques à l'école de plusieurs points de vue, institutionnel, épistémologique, cognitif et didactique, repère des résonances et des frictions entre ces points de vue, réinterroge certaines pratiques issues de la recherche et de l'enseignement ordinaire. La pertinence d'une stabilisation d'une typologie des problèmes, en trois types (redéfinis) : basiques, complexes, a-typiques est questionnée en insistant sur la nécessité d'un enseignement assumé de la résolution de problèmes basiques. La note se conclut sur la question du tissage entre mathématiques et didactique, particulièrement cruciale en en formation continue