Misunderstanding geographical distances: three errors of interpretation of violations of the triangle inequality

International audienceWe investigate the meaning of the mathematical properties of distances in the fields of geography and economy. The key property for spatiality is the triangle inequality (TI) as ensurring the optimality of distance. We identify three different situations where several authors identify violations of the TI. We consider all of them as errors of interpretation.The first error consists in considering sub-optimal measurements as distances. Yet distances are necessarily optimal since they respect the TI.The second set of error, which is the most widespread, involves a confusion between the Euclidean straight line and the minimum path. The errors consist in considering the presence of a detour as a violation of the TI, while this situation simply corresponds to a non-Euclidean distance.The third error concerns the issue of additivity of distances. The commonplace situation in geographical space where a break is needed to provide the energy necessary to renew the movement, is considered by some authors as another violation of the TI. We argue that as these routes are optimal, the TI must hold. We finally introduce a distance function that allows considering sub-additivity and over-additivity of distances, and in the same time respect the TI.Nous étudions la signification des propriétés mathématiques des distances, dans les domaines de la géographie et de l’économie. La propriété clé des métriques pour la spatialité est l’inégalité triangulaire (IT) qui est étroitement reliée à l’optimalité des distances. Nous identifions trois situations où plusieurs auteurs identifient des violations de l’IT. Nous les considérons comme étant des erreurs d’interprétation.La première erreur consiste à considérer une mesure de la distance comme pouvant être sous-optimale. Pourtant les distances sont nécessairement optimales si elles respectent l’IT.Le second ensemble d’erreurs, qui est le plus répandu, porte sur une confusion entre la ligne droite euclidienne et le plus court chemin. L’erreur consiste à traiter le détour comme étant une violation de l’IT, alors que cette situation correspond simplement à une distance non-euclidienne.Le troisième problème concerne l’additivité des distances. La situation omniprésente dans l’espace géographique où la pause est indispensable pour fournir l’énergie nécessaire au renouvellement du mouvement, est considérée par certains auteurs comme une autre forme de violation de l’IT. Nous considérons que si les itinéraires en question sont optimaux, alors l’IT devrait être respectée