The spectrum of gcd graphs via multiplicativity

Basierend auf den Arbeiten von W. SO sowie W. KLOTZ und T. SANDER setzen wir das Studium der spektralen Eigenschaften von verallgemeinerten unitären Cayley-Graphen, die ggT-Graphen oder auch ganzzahlige zirkuläre Graphen genannt werden, fort. In diesem Zusammenhang werden wir viele noch offene Fragen beantworten. Das Hauptwerkzeug für unsere Arbeit ist die Feststellung, dass die Eigenwerte eines ggT-Graphen Arithmetische Faltungen vom Narkiewicz-Typ entsprechen. Durch die Benutzung unseres Konzeptes von multiplikativen Teilermengen erhalten wir sowohl einige wichtige spektrale Eigenschaften (z.B. Extremalenergien) von ggT-Graphen als auch weitere interessante Anwendungen, wie beispielsweise Verschwindende Summen von Potenzen von primitiven Einheitswurzeln, hyperenergetische und Ramanujan-ggT-Graphen.Continuing the works of W. SO as well as W. KLOTZ and T. SANDER we study the spectral properties of generalised unitary Cayley graphs, which are called gcd graphs or integral circulant graphs. In this context we present a lot of answers to open questions. The main tool of our work is the observation that the eigenvalues of a gcd graph are in particular arithmetical convolutions of Narkiewicz’ type. By using the concept of multiplicative divisor sets several other interesting spectral properties of gcd graphs (e.g. extremal energies) and further applications are also obtained, namely vanishing sums of powers of primitive roots of unity, hyperenergetic and Ramanujan gcd graphs