Sur les invariants topologiques des actions de groupes moyennables discrets

La dimension topologique moyenne est un invariant numérique d'actions de groupes moyennables introduit par M. Gromov en 1999 pour étudier des systèmes dynamiques de dimension ou d'entropie topologique infinie. Dans cette thèse on s'intéresse à la dimension topologique moyenne ainsi qu'à l'entropie topologique d'actions de groupes moyennables discrets. On établit des propriétés générales de la dimension topologique moyenne des sous-décalages fermés des décalages sur les groupes moyennables dont l'ensemble des symboles est un compact métrisable. On étend aux actions de groupes moyennables résiduellement finis des résultats obtenus par E. Lindenstrauss et B. Weiss pour les actions du groupe infini cyclique. Par exemple, on donne une construction d'actions minimales de groupes moyennables ayant une dimension topologique moyenne arbitrairement grande. Cette construction généralise celle utilisée par Lindenstrauss et Weiss pour donner un contre-exemple à une question restée longtemps ouverte en théorie des systèmes dynamiques. On introduit les sousdécalages minimaux de Toeplitz pour les groupes moyennables résiduellement finis. On démontre que l'entropie topologique de tels systèmes peut prendre toute valeur positive plus petite que l'entropie du décalage ambiant.Mean topological dimension is a topological invariant of actions of amenable groups introduced by M. Gromov in 1999. This invariant is particularly useful in the study of dynamical systems of infinite topological dimension and infinite entropy. In this thesis we are interested in mean topological dimension and topological entropy of actions of discrete amenable groups. We give some general properties of mean topological dimension of closed subshifts over amenable groups where the symbol space is a compact metrizable space. Some results established by E. Lindenstrauss and B. Weiss for actions of the infinite cyclic group are extended to actions of residually finite amenable groups. For example, we give a construction of minimal actions of amenable groups with arbitrary large mean topological dimension. It generalizes the one used by Lindenstrauss and Weiss to give a counterexample to a long-standing embedding problem in topological dynamics. We introduce minimal Toeplitz subshifts for residually finite amenable groups and we prove that their topological entropy can take any non negative value smaller than the entropy of the full shift