Lineaariset ryhmät

Tässä työssä paneudutaan lineaarisiin ryhmiin. Ne ovat ryhmiä, joiden alkiot ovat matriiseja tai jotka muuten tiiviisti liittyvät matriiseihin. Luku yksi on perusteellinen johdatus, jonka ei vaadi runsaasti esitietoja ja perehdyttää lukijan tarvittaviin käsitteisiin ja perustuloksiin. Tämän jälkeen luvussa kaksi päästään esittelemään kolme erilaista lineaaristen ryhmien perhettä. Tässä työssä lineaaristen ryhmien yhteydessä käsitellään ainoastaan 2x2 -matriiseja, joiden alkiot ovat jostakin äärellisestä kunnasta. Kaikissa lopuissa luvuissa perehdytään tarkemmin niin kutsuttuihin erityisiin projektiivisiin lineaarisiin ryhmiin. Luvussa kolme osoitetaan pari jatkon kannalta avainasemassa olevaa lausetta, joiden avulla tutkitaan mielenkiinnon kohteena olevien lineaaristen ryhmien rakennetta kappaleissa kolme, neljä ja viisi. Luvussa kolme käydään läpi tapaus, jossa matriisien alkiot ovat viiden alkion kunnasta. Luvussa neljä kunnan alkioita on neljä ja luvussa viisi alkioita on seitsemän. Kussakin tapauksessa osoitetaan lineaarisen ryhmän olevan rakenteeltaan niin kutsutusti yksinkertainen. Näiden tutkimusmatkojen jälkeen työ huipentuu viimeisessä kappaleessa osoitettavaan yleiseen tulokseen: Tutkailun kohteena olevat lineaariset ryhmät ovat rakenteeltaan yksinkertaisia aina, kun kunnassa on vähintään neljä alkiota. Tärkeimmät lähteinä käytetyt kirjat ovat J.F Humphreysin ’A Course in Group Theory’ sekä M.I. Kargapolovin ja Ju.I. Merzljakovin ’Fundamentals of the Theory of Groups’. Korvaamattomana apuna ovat toimineet myös Markku Niemenmaan Oulun yliopiston algebra-aiheisten kurssien kurssimateriaalit sekä kursseilla tekemäni luentomuistiinpanot. Työn vähemmän monimutkaiset todistukset ovat suurilta osin omaa käsialaani