Residylaskenta ja sen sovelluksena äärettömien sarjojen summien laskeminen ja Mittag-Lefflerin laajennuslause

Tässä tutkielmassa käsitellään kompleksilukuja ja niihin liittyvää residylaskentaa, jota pystytään soveltamaan kompleksianalyysissä. Tutkielman päälähteenä on käytetty Murray R. Spiegelin teosta Schaum’s Outline of theroy and problems of complex variables, jonka lisäksi toinen tärkeä lähde on Anthony D. Osbornen Complex variables and their applications. Tutkielman ensimmäisessä kappaleessa esitellään kompleksiluvut ja eräitä hyvin keskeisiä kompleksilukujen ominaisuuksia, joista tärkeimpinä ominaisuuksina kompleksiluvun napakoordinaattiesitys, Eulerin kaava ja kompleksilukujen trigonometriset funktiot. Toisessa kappaleessa esitellään kompleksilukujono ja kompleksifunktio sekä niihin liittyviä määritelmiä ja tuloksia. Tämän kappaleen tärkeimpiä asioita ovat kompleksilukujonon ja funktiojonon suppeneminen, analyyttisyyden yhteys derivoituvuuteen ja Cauchyn integraalikaava. Kolmannessa kappaleessa esitellään sarja ja erilaisia suppenemistestejä sarjoille. Tärkeä asia tässä kappaleessa on potenssisarja, jonka avulla todistetaan funktion Taylor-kehitelmä. Tämän jälkeen lasketaan Taylor-kehitelmä funktiolle $e^z$. Kappaleen lopussa esitellään funktion Laurent-kehitelmä, jonka avulla päästään siirtymään tutkielman pääaiheeseen residylaskentaan. Neljännessä kappaleessa perehdytään residylaskentaan. Tässä kappaleessa tärkeitä asioita ovat residylause ja näppärä kaava, jolla voidaan laskea funktion residyt ilman, että muodostettaisiin funktiosta ensin Laurent-sarja. Tutkielman viimeiset kappaleet käsittelevät reaaliarvoisten sarjojen tarkkojen arvojen laskemista residylaskennan avulla ja Mittag-Lefflerin laajennuslausetta. Viidennessä kappaleessa esitellään monia tärkeitä tuloksia, joiden avulla pystytään laskemaan erilaisille reaaliarvoisille sarjoille sarjakehitelmiä. Mittag-Lefflerin laajennuslauseen avulla pystytään laskemaan sarjakehitelmiä helposti esimerkiksi trigonometrisille funktioille