Problemas combinatórios condicionais: um olhar para o livro didático do ensino médio

Esta pesquisa teve como objetivo analisar os livros didáticos de matemática aprovados pelo Programa Nacional do livro didático em 2012, que são voltados ao ensino médio, acerca dos problemas combinatórios condicionais. Para tanto, apoiou-se na categorização elaborada por Borba e Braz, a qual coloca que, além dos invariantes de escolha e ordem, relata a existência também dos invariantes de posicionamento e/ou proximidade e os de explicitação (ou não), todos relacionados aos elementos pertencentes aos conjuntos que se pretende contar e/ou agrupar. A presente pesquisa fundamentou-se na Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud que defende que um conceito é formado por um tripé composto pelas: Situações que dão significado ao conceito, pelos Invariantes que representam as diferentes propriedades do conceito e pelas representações simbólicas. Nesta dissertação defende-se que, quanto maior for o número de situações com que os alunos se deparam, ou seja, quanto maior for a diversidade dos problemas explorados pelos livros didáticos, haverá uma maior probabilidade de êxito na construção dos conceitos que se pretende ensinar. Sendo assim, considera-se que os problemas combinatórios condicionais constituem um arsenal de situações distintas, capazes de estimular os alunos a refletir sobre o problema, pois se este se constitui em um desafio, os alunos, de um modo geral, se sentem motivados a resolvê-lo. Os dados obtidos mostram que os problemas combinatórios estão concentrados nos livros do 2º ano do ensino médio. O levantamento quantitativo que procurou calcular o percentual de problemas combinatórios condicionais, em face aos problemas que não são condicionais, mostra, que as sete coleções analisadas apresentam percentuais que variam de 13,10% a 42,20% de problemas combinatórios condicionais. Desses problemas condicionais, os do tipo permutação, arranjo e combinação foram os mais explorados. Quanto aos tipos de Representações Simbólicas, a Árvore de Possibilidades e a Tabela foram as mais indicadas pelos autores dos livros em questão, embora não haja o incentivo para a utilização das mesmas. De forma geral, os problemas combinatórios condicionais abordaram contextos que faziam menção à organização de objetos em prateleiras, ou construção de anagramas (permutação); à criação de senhas ou de números com determinada quantidade de algarismos (arranjo) e à organização de comissões (combinação). As análises efetuadas no manual destinado especificamente ao professor mostraram a ausência de sugestões específicas que pudessem orientar o trabalho deste profissional em sala de aula ao trabalhar com os problemas combinatórios condicionais. Conclui-se então, que é considerável a quantidade de questões que trazem em seus enunciados, situações contextualizadas com a atividade diária dos alunos, possibilitando a instituição mais eficaz de um ou vários sentidos aos conceitos da combinatória.CAPESThis research aimed to analyze the mathematics textbooks approved by the National Textbook Program in 2012, which are directed to the high school, about conditional combinatorial Problems. Therefore, has relied on categorization developed by Borba and Braz, which posits that, in addition to choice and order invariant, reports the existence also of positioning and / or proximity invariant and the explanation (or not) all related to the elements belonging to the sets to be counted and /or group. This research was based on the Conceptual Fields Theory of Vergnaud who holds that a concept is formed by a tripod composed of: Situations that give meaning to the concept, by Invariant that represent the different property of concept and by the symbolic representations. In this dissertation argues that the greater the number of situations that students are faced, that is, the greater the diversity of problems exploited by textbooks, there will be a greater chance of success in the construction of concepts that intends to teach. Therefore, it is considered that the conditional combinatorial problems are an arsenal of different situations, able to stimulate students to think about the problem, because if this constitutes a challenge, students, in general, feel motivated to solve it. The data obtained show that the combinatorial problems are concentrated in the books of the 2nd year of high school. The quantitative survey that sought to calculate the percentage of conditional combinatorial problems, in the sight of problems that are not conditional, shows that the seven analyzed collections present percentages that range from 13.10% to 42.20% of conditional combinatorial problems. Of these conditional problems, the type permutation, arrangement and combination were the most exploited. Regarding the types of symbolic representations, the "possibilities tree" and Table were the most indicated by the authors of the books in question, although there is not the incentive to use them. In general, the conditional combinatorial problems have addressed contexts that made mention of arranging objects on shelving, or construction of anagrams (rotating); the creation of passwords or numbers with certain amount of digits (arrangement) and organizing commissions (combination). Analyses on the manual specific to the teacher showed the absence of specific suggestions that could guide the work of this professional in the classroom to work with conditional combinatorial problems. It is concluded, that there is a considerable amount of issues that bring in their utterances, situations contextualized with daily activity of the students, enabling more effective use of one or more senses to the concepts of combinatorics