ConformaI aspect of the Dirac operator on manifolds with boundary

La principale motivation des travaux de cette thèse est d'étudier l'aspect conforme du spectre de l'opérateur de Dirac sur une variété à bord. Dans un premier temps, on donnera des estimations de la première valeur propre de l'opérateur de Dirac fondamental de M sous deux conditions à bord locales prenant en compte leurs propriétés conformes. Une étude détaillée de ces conditions à bord permet alors de clore cette première partie par une estimation classique du spectre de l'opérateur de Dirac, raffinant. un résultat antérieur de O. Hijazi, S. Montiel et A. Roldan. Dans un second temps, on construit un invariant spinoriel conforme à partir de la première valeur propre de l'opérateur de Dirac sous l'une des conditions à bord étudiées dans le premier chapitre. Cet invariant peut être vu comme l'analogue de l'invariant de Yamabe dans le cadre spinoriel. Une étude approfondie de cet invariant conduit de manière naturelle à la construction de la fonction de Green de l'opérateur de Dirac.In this thesis, we study the conformaI aspect of the spectrum of the Dirac operator on manifolds with boundary. First, we prove sorne lower bounds for the first eigenvalue of the Dirac operator under two local boundary conditions using the conformaI covariance of these operators. A carefully treatment of these boundary conditions leads to a classical estimation of the eigenvalues of the Dirac operator under one of the preceding boundary conditions which improves a previous result of O. Hijazi, S. Montiel and A. Roldan. In a second time, we construct a spinorial conformaI invariant defined from the first eigenvalue of the Dirac operator under the generalized chiral bag boundary condition. This invariant can be seen as an analogous of the Yamabe invariant in the setting of spin geometry. A detailed study of this invariant leads to the construction of the Green function for the Dirac operator