Étude de quelques problèmes de contrôlabilité exacte, de contrôle optimal et de stabilisation pour des domaines minces à frontières ondulées

Cette thèse est consacrée à l'étude de quelques problèmes de contrôlabilité exacte, de contrôle optimal et de stabilisation dans un domaine tridimensionnel de faible épaisseur à frontière ondulée. On étudie aussi le comportement asymptotique correspondant à chaque problème lorsque l'épaisseur tend vers zéro. Dans une première partie, on montre à l'aide de multiplicateurs adaptés au domaine, la contrôlabilité exacte pour l'équation des ondes en agissant avec un contrôle de Dirichlet sur une partie de la frontière latérale et un contrôle de Neumann sur la frontière supérieure et inférieure. On considère ensuite, dans la deuxième partie, un problème de contrôle optimal pour une équation d'état donnée par un opérateur elliptique de second ordre et une fonction coût à minimiser. A l'aide de fonctions test convenables, on montre que le contôle optimal converge vers un contrôle optimal du problème limite lorsque l'épaisseur tend vers zéro. Enfin, la troisième et dérnière partie, on considère l'équation des ondes soumise à un terme d'amortissement interne et un terme d'amortissement frontière qui font décroître l'energie. A l'aide de multiplicateurs adaptés, on affaiblit les conditions sur la localisation de la dissipation et on montre que l'energie décroît exponentiellement. Pour chacun de ces problèmes, on donne une description bidimensionnelle du problème limite correspondant. On voit comment l'opérateur limite bidimensionnel dépend des ondulations et comment les contrôles frontières deviennent internesThis thesis is devoted to study of some problems of exact controllability, optimal control and stabilization in a three-dimensional domain with low thickness and non-flat boundary. We study also the asymptotic behaviour corresponding to each problem when the thickness tends to zero. In a first part, we show, using the multipliers adapted to the domain and acting with a Dirichlet control on the lateral part and a Neumann control on top-bottom surfaces, exact controllability for the wave equation. Then we consider, in the second part, a problem pf optimal control for a state equation given by an elliptic operator of second order and cost function to be minimized. Using suitable functions test, we show that the optimal control converges to the optimal control of the limiting problem when the thickness tends to zero. Lastly, in the third and last part, we consider the wave equation with an interior and boundary damping. Using multipliers adapted to the domain, we weaken the conditions on the localization of the dissipation and we show that energy decrease exponentially. For each one of these problems, we give a two-dimensional description of the problem limits corresponding. It is seen how the two-dimensional limiting operator depends on the undulations and how boundary controls on top-bottom surfaces become interior contro