Some Transformation property and its Algebraic Structure Relating with The Solution Equation

From tre view pint of the symmetric space a derivation of tre chiral field equation is reviewed simply by virture of tre syrnrretric space. A pure gauge fuoction Ω_μ (= g^σ_μg; g taking the value on the group G) satisfying the flat connection of curvatures is uniquely projected on to both Lie algebras, the one is a subalgebra of H(⊂G) while the other of G/H. An introduction of the gauge transformation (g-->gh, h∈H) induces a natural derivation of the chiral equation.After the short discussion of (local) Riemann-Hilbert transformation (belonging to a Lie group) for the chiral equation, it is attempted to extend that transformation to the case of N X N-order spectral equation with the spectrum on the real axis. In our case the contour integral must be replaced with a infinite real interval ( - ∞, ∞) and the usual treatment fails because of the divergence of integrals. This is removed by using our recent results of triangular factorization techniques, then it becomes possible to get the global formulation. We find that our trasfomation still has a similar algebraic structure, that is, the Kac-Moody Lie algebra.対称空間の観点に立つカイラル方程式の導出が簡単に復習される。曲率ゼロを満たす純ゲージ函数Ω_μ（=g^{-1}δ_μg; gはリー群G上に値を取る）が2種のリー代数，一つはGのある部分群Hの部分リー代数もう一つは商群(G/H)の部分代数，の上に一意に射影される。対称空間の性質からH上に値を取る函数hによりゲージ変換(g→gh;h∈H)を導入すれば自然にカイラル方程式が求まる。カイラル方程式に関するローカルなリーマン・ヒルベルト変換が簡単に述べられた後で実軸上にスペクトラムを持つN×N次の行列スペクトラル導程式のリーマン・ヒルベルト変換への拡張が試みられる。この時には無限小変換に現れる積分は全実軸(-∞,∞)に及ぶので従来の定式化では積分は発散して失敗する。この困難は，最近の我々の三角行列分解のテクニックを使えば取除くことができる。これからグローバルなリーマンヒルベルト変換の表示が得られる。対応する無限小変換は従来の物と同様に，Kac-Moodyリー代数の構造を持つ事が示された