Classifying spaces of fibred categories

Esta tesis se desarrolla en torno al estudio de los espacios clasificantes de fibraciones de categorías. Toda categoría pequeña tiene asociado de un modo natural un espacio topológico, su espacio clasificante. Introducimos variantes de esta construcción para el caso en que la categoría tiene estructura fibrada. A partir de estas nuevas construcciones obtenemos nuevos resultados en la teoría de homotopía de categorías, e interpretamos desde un nuevo punto de vista y de un modo conceptual varios de los teoremas clásicos de Quillen, Segal y Thomason. Entre los resultados obtenidos destacamos una versión relativa del Teorema A de Quillen, una versión homológica de ese mismo Teorema y una sucesión espectral, análoga a la clásica sucesión espectral de Serre, para calcular la homología de fibraciones de Grothendieck. Exponemos también una construcción novedosa para la subdivisión de una categoría, y derivaciones de esta construcción en teoría de homotopía de posets y en teoría de categorías. Por último, estudiamos la generalización de espacios clasificantes a 2-categorías, e implementamos los resultados expuestos en homotopía de categorías fibradas para caracterizar los espacios de lazos de las 2-categorías. Parte de los resultados obtenidos fueron publicados en los artículos [dH08a] y [dH08b], mientras que los referentes a homotopía de 2-categorías peque~nas serán incluídos en [dH09].This thesis deals with classifying spaces of fibred categories. A topological space is associated in a natural way to a every small category, namely its classifying space. We introduce alternative constructions for categories endowed with a fibred structure, obtaining new results in homotopy of categories and placing those of Quillen, Segal and Thomason into our framework. Among the obtained results, we emphasize a relative version of Quillen's Theorem A, a homological version of the same theorem and a Serre-style spectral sequence. As an application, we propose a new construction for subdivision of small categories, and derive consequences in homotopy of posets and in category theory. Finally, we study classifying spaces of 2-categories, and we apply the results in homotopy of fibred categories to give a characterization of loop spaces of 2-categories. Most part of the results exposed here were published in [dH08a] and [dH08b], while the others will appear in [dH09].Fil:del Hoyo, Matías L.. Universidad de Buenos Aires. Facultad de Ciencias Exactas y Naturales; Argentina