Mavrična dominacija v leksikografskem produktu grafov

Preslikava iz množice vozlišč grafa ▫$G$▫ v potenčno množico množice ▫${1,2,dots, k}$▫ se imenuje ▫$k$▫-mavrična dominantna funkcija, če za poljubno vozlišče ▫$v$▫ z lastnostjo ▫$f(v) = emptyset$▫ velja ▫${1,dots,k} = bigcup_{u in N(v)}f(u)$▫. Obravnavamo ▫$k$▫-mavrično dominantno število grafa ▫$G$▫, ▫$gamma_{rk}(G)$▫, ki je minimalna vsota (po vseh vozliščih grafa ▫$G$▫) moči podmnožic, ki so vozliščem dodeljena s ▫$k$▫-mavrično dominantno funkcijo. V članku se osredotočimo na 2-mavrično dominantno število leksikografskega produkta grafov in dokažemo natančno spodnjo in zgornjo mejo za to število. Dejansko pokažemo natančno vrednost za ▫$gamma_{r2}(G circ H)$▫, razen v primeru, ko je ▫$gamma_{r2}(H) = 3$▫ in obstaja taka minimalna 2-mavrična dominantna funkcija grafa $H$, ki nekemu vozlišču v grafu ▫$H$▫ dodeli oznako ▫${1,2}$▫.A ▫$k$▫-rainbow dominating function of a graph ▫$G$▫ is a map ▫$f$▫ from ▫$V(G)$▫ to the set of all subsets of ▫${1,2,dots,k}$▫ such that ▫${1,dots,k} = bigcup_{u in N(v)}f(u)$▫ whenever ▫$v$▫ is a vertex with ▫$f(v) = emptyset$▫. The ▫$k$▫-rainbow domination number of ▫$G$▫ is the invariant ▫$gamma_{rk}(G)$▫, which is the minimum sum (over all the vertices of ▫$G$▫) of the cardinalities of the subsets assigned by a ▫$k$▫-rainbow dominating function. We focus on the 2-rainbow domination number of the lexicographic product of graphs and prove sharp lower and upper bounds for this number. In fact, we prove the exact value of ▫$gamma_{r2}(G circ H)$▫ in terms of domination invariants of ▫$G$▫ except for the case when ▫$gamma_{r2}(H) = 3$▫ and there exists a minimum 2-rainbow dominating function of ▫$H$▫ such that there is a vertex in ▫$H$▫ with the label ▫${1,2}$▫