Weibull distribution of the measured strength of ceramic samples

Mehanske napetosti, pri katerih izdelki iz keramike počijo, so odvisne od naključne razporeditve napak v materialu. Izmerjene zlomne napetosti ali trdnosti vzorcev pri večjem številu vzorcev so v večini primerov razporejene po dvoparametrični Weibullovi porazdelitvi. Skalni parameter σ0 porazdelitve je v zvezi s povprečno trdnostjo, Weibullov modul m pa je mera za širino porazdelitve. Podatka sta pomembna za raziskave novih materialov in kontrolo kakovosti v proizvodnji. V diplomskem delu preučujem metode za določanje vrednosti Weibullovih parametrov iz niza meritev. Uporabljam niz 5100 meritev iz podjetja Hidria AET in meritve, simulirane z metodo Monte Carlo. Preizkusila sem štiri statistične metode: histogramsko metodo, metodo linearne regresije s tremi različicami, metodo maksimalne verjetnosti in metodo momentovhistogramska metoda je uporabna samo za zelo veliko število podatkov. Izkazalo se je, da se izmerjene napetosti zelo dobro ujemajo z Weibullovo porazdelitvijo. Majhna odstopanja opazimo le pri največjih in najmanjših napetostih, to je v področjih, v katerih je zelo malo izmerkov. Pri zelo velikem številu meritev se vrednosti Weibullovih parametrov, ki jih izračunamo po različnih metodah, le malo razlikujejo med seboj, posebno pri skalnem parametru. V praksi pa imamo običajno na voljo bistveno manj meritev, zato sem iz izmerjenih in simuliranih podatkov sestavila krajše nize meritev in za vsak niz izračunala vrednosti Weibullovih parametrov. Zanimala me je porazdelitev vrednosti izračunanih parametrov pri velikem številu ponovitev v odvisnosti od dolžine niza in metode analize. Razlike izračunanih vrednosti po različnih metodah se kažejo pri kratkih nizih, vrednost skalnega parametra lahko določimo bolj natančno in zanesljivo kot vrednost Weibullovega modula. Kot najbolj zanesljiva metoda se je izkazala metoda linearne regresije. Najpomembnejši rezultat študije pa je, da dajo vse metode pri premešanih eksperimentalnih podatkih precej nižje vrednosti Weibullovega modula kot pri podatkih po časovnem vrstnem redu, kar je merilo za nihanje kvalitete proizvodnih serij keramičnih izdelkov.The maximum stress a ceramic specimen can withstand depends on random distribution of defects in the material. A large set of experimental values can be described with two-parametric Weibull distributionthe scale parameter σ0 is proportional to the mean strength, the Weibull modulus m depends on the width of the distribution. Both values are important in research of new materials and in production quality control. In the thesis, statistical methods for evaluation of the Weibull parameters are studied. A large set of 5100 experimental data from the company Hidria AET and Monte Carlo simulated data are used. Four statistical methods are tested: the histogram method, three variants of the linear regression, the maximum-likelihood and the method of moments. The histogram method can be used only for a large amount of the measured data. The analysis proves that the measured data agrees very well with the Weibull distribution. However, there are small deviations at very small and very high strengths - in the regions with very small number of the measured data. Due to the large set of the measured data all the tested methods yield similar values of the Weibull parameters, especially for the scale parameter. But in practice, only short sets are available. Therefore a large number of shorter sets of the measured and the simulated data are constructed and the Weibull parameters are calculated for each set. Results of the employed statistical methods differ for the short sets: the linear regression is the most reliable methodσ0 can be determined more reliably than m. The most important result of this work is a decrease in the value of the Weibull modulus in sets with the shuffled experimental data relative to the values obtained from sets in chronometric order, reflecting quality oscillations in the production series of ceramic specimens