Analysis Of Dynamic Behavior Of Viscoelastic Helicoidal Rods With Mixed Finite Element Method

Tez (Yüksek Lisans) -- İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2012Thesis (M.Sc.) -- İstanbul Technical University, Institute of Science and Technology, 2012Yüklemenin yeterince hızlı olması durumunda, genellikle malzemenin elastik olduğu varsayılır. Gerçekte ise, malzemeler iç sürtünmeden dolayı belli oranlarda viskoelastiktir ve böylece şekil değiştirmede sürekliliği azalan oranda yavaşlayan bir artış gözlenir. Viskoelastik davranış gösteren malzemeler arasında plastikler, ahşap, doğal ve sentetik fiberler, beton ve yüksek sıcaklığa maruz metaller sayılabilir. Teknolojideki son gelişmeler (gaz tribünleri, jet motorları, nükleer santraller, uzay araçları gibi), plastiklerinde dahil olduğu çeşitli malzemelerde yüksek sıcaklık performansı konusunda ciddi talepler ortaya koymuştur. Viskoelastisite zamandan bağımsız elastik davranış ile zamana bağlı viskoz davranışın birleşimidir. O nedenle malzeme davranışının zamana bağlı olduğu durumlarda, viskoelastik bünye bağıntıları elastik bünye bağıntılarına göre daha gerçekçi bir yaklaşım sunar. Literatürde viskoelastik davranışı tanımlayan Kelvin, Maxwell, genelleştirilmiş üç parametreli gibi değişik mekanik modeller mevcuttur. Bu modellerde viskoelastik davranış yağ kutusu ile ve elastik davranış yayla ifade edilir. Helisel yay olarak da bilinen silindirik yay, şoku emen ya da temas yüzeyleri arasında kuvveti aktaran ve genellikle enerji depoladıktan sonra zaman içinde onu serbest bırakan bir mekanik elemandır. Helisel yaylar, arzu edilen elastikiyet ve rijitliği sağlayacak malzemeden olmak koşuluyla çeşitli mekanizmalarda kullanılırlar. Yayların temel fonksiyonları, enerjiyi yutmak ve şoku azaltmak, kuvvet ya da burulma uygulamak, hareketli kütleleri desteklemek veya titreşimi azaltmak, kontrol yükünü ya da burulmayı belirlemektir. Yaylar; saatlerde, galvanometrelerde ve kısmen dönen aletlerde dönmeyi engellemeden elektriğin iletilmesini sağlar. Dahası, elektrik anahtarlarında, ateşli silah mekanizmalarında, müzik kutularında, kurmalı oyuncaklarda ve mekanik olarak çalışan el fenerlerinde de kullanılır. Helisel çubuklar, yapı elemanı olarak helisel merdivenler ve makine elemanı olarak araç süspansiyon sistemlerinde ve motor valf yaylarında kullanılır. Farklı boyutlardaki helisel yaylar, ileri mühendislik uygulamaları, ileri teknoloji uygulamaları, endüstriyel uygulamalar, yeni gelişen viskoelastik sönümleyiciler (ray, yapı vb.), tıbbi araştırmalar (atardamar dokusu) ve savunma sanayinde de (piyade tüfekleri, ağır makineli tüfekler, tank gibi ağır zırhlı araçlar ve personel taşıyıcılar) kullanılırlar. Uygulamada, helisel yayların silindirik ve silindirik olmayan (fıçı, hiperboloidal ve konik) tipleri vardır. Çubuk ekseni boyunca eğriliğin sabit olması, silindirik helisel yayların analizini silindirik olmayanlara göre daha basit kılar. Bu tezde eksen geometrisi silindirik olan ve olmayan, dik kesiti çubuk ekseni boyunca sabit olan daire ve daire olmayan, viskoelastik helislerin dinamik analizi Timoshenko çubuk kuramı kullanılarak yapılmıştır. İleri teknoloji uygulamalarında helisel yayların geniş bir kullanım alanının olması buna gereksinim göstermektedir. Dairesel kesitlerde, burulma atalet momenti kesitin polar atalet momentine eşittir. Dikdörtgen kesitlerde kullanıldığında ise bazı tablo değerleri düzeltme parametresi olarak kullanılır. Ancak kesit dairesel veya dikdörtgensel olmadığı hallerde, burulma rijitliğinin hesabı özel işlem gerektirir. Prizmatik çubukların burulma probleminin doğru çözümü Saint-Venant tarafından verilmiştir. Bu teoride, çubuğun deformasyonu kesitte dönme ve çarpılmayı içerir. Çarpılma bütün kesit tiplerinde aynıdır ve burulma atalet momentinde ψ= ψ(x,y) çarpılma fonksiyonu olarak tanımlanır. Her kesit için bir analitik ifade tanımlamak yerine bu çalışmada başka bir sonlu eleman algoritması kullanılarak ulaşılabildiği gibi yeterli hassasiyetle sayısal olarak hesaplanabilir. Viskoelastik malzemede, elastik-viskoelastik analoji (karşıgelim ilkesi) kullanılarak malzeme sabitleri, Laplace ve Fourier uzaylarındaki kompleks karşıtları ile yer değiştirilmiştir. İntegral dönüşümleri olarak adlandırılan Laplace ve Fourier dönüşümleri lineer sistemlerin analizine odaklı işlemsel hesap alanında çalışılan bir çeşit analiz metotudur. Bu dönüşümlerin kullanılma amacı problemin zorluğunu indirgemektir. Mühendislik ve bilim alanlarında karmaşık problemlerin çözümünde kullanılan etkin matematik araçlarıdır. Bu tezde fonksiyonların süreksizlik noktalarındaki etkinliği yüzünden Laplace transformu kullanılmıştır. Laplace dönüşümü zamana bağlı integral ve türevleri, dönüşüm parametresine bağlı cebirsel ifadelere dönüştürür. Dönüşümden sonraki denklemler, aynı geometrideki elastik cismin viskoelastik gibi davranışını sergileyen alan denklemlerine, temel denklemlerine ve sınır şartlarına benzer. Çözümlerde ilk olarak Kelvin modeli kullanılmıştır. Elde edilen sonuçlar, sayısal ters Laplace dönüşüm yöntemlerinden biri olan Durbin ve Fourier dönüşüm metodu (Fast Fourier Transform-FFT-algoritması) kullanılarak zaman uzayına taşınmış ve bu iki dönüşüm algoritmasının hassasiyeti, süresi, karşılıklı üstünlüklerinin karşılaştırılması da amaçlanmıştır. Elde edilen sonuçlarda modifiye Durbin ters Laplace dönüşümünün kısa sürede daha gerçekçi sonuçlar verdiği görülmüş proglamlamaya uygunluğu nedeniyle tercih edilmiştir. Yapılan detaylı incelemeler sonucunda çözümlerimizde modifiye Durbin ters Laplace dönüşümüne ait aT parametresi ile ilgili literatür incelendikten sonra özgün örneklerde uygun sayısal değeri belirlenmiştir. Bu tezin başka bir amacı ise zamana bağlı problemlerin çözümü için frekans uzayına ve daha sonra zaman uzayına dönüşümlerini yapan dönüşüm metodları alanında geniş bir dökümantasyon sağlamaktır. Geniş araştırmalar sonucu bilinebildiği kadarıyla, şimdiye kadar sadece doğrusal viskoelastik kirişlerin ve sabit dairesel dik kesitli silindirik viskoelastik helislerin analizi yapılmıştır. O nedenle aşağıda bahsedilen tüm problemler, literatürde sadece orijinal değil, standart olmayan mühendislik problemlerinin uygulamaları için de çok önemlidir. Bu tezde, Timoshenko çubuğu teorisine dayanan sabit kesitli ve özellikle dairesel kesitli olmayan viskoelastik helislerin dinamik davranışı karışık sonlu eleman yöntemi kullanılarak incelenmiştir. Uzay çubuğunun viskoelastik davranışı için Laplace dönüşüm yöntemi kullanıldı. İlk olarak, sekiz farklı yükleme için sayısal yöntemin parametreleri üzerinde yakınsama çalışmaları yapıldı. Bu parametrelerden biri, geliştirilmiş Durbin Laplace dönüşüm yöntemlerinde kullanılan aT parametresi, diğeri ise zaman aralığında hesapların yapılacağı nokta sayısını belirlemede kullanılan 2N parametresidir. Laplace dönüşümü bilinen bazı fonksiyonlar zaman uzayına taşındı ve elde edilen sonuçlar kesin sonuçlarla karşılaştırıldı (bakınız Örnekler 1.1-1.8). Elde edilen sonuçlar ışığında, aT parametresinin 8 ve 10 alınarak incelenen sonuçlarına göre daha kısa hatalı zaman aralığı verdiğinden ve sadece adım tipi ve Heaviside birim adım gibi fonksiyonlarda kesin sonuçlara göre yüzdesel hata olarak aT parametresinin 8 ve 10 olduğu sonuçlara kıyasla daha büyük değerde olmasına rağmen, binde mertebelerinde kaldığından ve diğer fonksiyonlarda da aT parametresinin incelenen diğer değerlerine göre daha iyi bir yakınsama sağladığından dolayı, aT parametresinin 6 olarak alınması tercih edilmiştir. Daha sonra kare kesitli ankastre viskoelastik silindirik helisel çubuk üzerinde her bir yükleme için aT parametresinin doğrulaması yapılarak aynı zamanda 2N parametresinin yakınsama problemlerine geçilmiştir (bakınız Örnekler 2.1-2.8). Elde edilen sonuçlar ışığında, 2N parametresi için olduğu durumlara nazaran kısa hesap zamanı içerisinde yeterli hassasiyeti sağladığından dolayı 29 hesap noktası sayısı tercih edilmiştir. Daha sonra, literatürde mevcut serbest uçtan noktasal ve düşey olarak uygulanan adım tipi ve impulsif sinüzoidal yükleme altında incelenen kare kesitli ankastre viskoelastik silindirik helis çalışmasıyla karşılaştırma çalışmaları yapılarak, oldukça tatminkar sonuçlar elde edilmiştir (bakınız Örnek 3.1). Son olarak sonuçların çizelge ve şekillerle de verildiği orijinal örneklere geçilmiştir. Orijinal örnekler kısmında, ilk olarak literatürle karşılaştırma çalışmasında geçen serbest uçtan noktasal ve düşey olarak uygulanan adım tipi ve impulsif sinüzoidal yükleme altında incelenen kare kesitli ankastre viskoelastik silindirik helis, kesit alanı aynı olacak şekilde daire kesit için analizi yapılmış ve serbest uçtan noktasal ve düşey adım tipi yükleme altında kesit alanının değişimi incelenmiştir (bakınız Örnek 4.1). Daha sonra serbest uçtan noktasal ve düşey olarak uygulanan adım tipi yüklemeler altında ilk olarak kare kesitli daha sonra aynı kesit alanına sahip daire kesitli olmak üzere ankastre viskoelastik konik helis örnekleri yarım tur için çözülmüş ve sönüm parametresinin olduğu değerler için ve her bir sönüm parametresinde taban yarıçapı sabit olarak tavan yarıçapı değiştirilip koniklik oranının olduğu değerler için helislerin analizi yapılmıştır (bakınız Örnekler 4.2 ve 4.3). Koniklik oranı ve sönüm parametresinin değişimi incelenmiş ve ayrıca konik heliste kare kesitle daire kesitin sonuçları karşılaştırılmıştır. Son örnek olarak serbest uçtan noktasal ve düşey olarak uygulanan adım tipi yükleme altında dikdörtgen kesitli ankastre konik helisin 1.5 tur ve sönüm parametresinin olduğu değerler için analizi yapılmış, sönüm parametresinin etkisi incelenmiştir (bakınız Örnek 4.4).It is generally assumed that the material is elastic if the loading is rapid enough. However, in reality, the materials are viscoelastic at some rates due to internal friction, and thus a slow and continuous increase of strains at a decreasing rate is observed. Among the materials showing viscoelastic behavior are plastic, wood, natural and synthetic fibers, concrete and metals at elevated tempetatures. Recent developments in technology, such as gas turbines, jet engines, nuclear power plants and space crafts, have placed severe demands on high temperature performance of materials, including plastics. Viscoelasticity is a combination of time independent elastic behavior and time dependent viscous behavior. Hence, in case of time dependent behavior of the materials, the viscoelastic constitutive relations yield more realistic results than the elastic constitutive relations. In the literature various mechanical models exist for representing viscoelastic material behavior, such as, Kelvin, Maxwell, generalized three parameter model etc. In these models elastic behavior is represented by a spring while viscous behavior is represented by a dashpot. A coil spring, also known as a helicoidal spring, is a mechanical device, which is typically used to store energy and subsequently release it, to absorb shock, or to maintain a force between contacting surfaces. Helicoidal springs are used in various mechanisms as long as the material has the required combination of rigidity and elasticity. The primary functions of springs are to absorb energy and mitigate shock, to apply a definite force or torque, to support moving masses or isolate vibration, to indicate control load or torque, etc. Springs are used in watches, galvanometers and places where electricity must be carried to partially-rotating devices such as steering wheels without hindering the rotation. Moreover, they are used in electrical swiches, firearm mechanisms, music boxes, windup toys and mechanically powered flashlights. Helicoidal rods are used as structural elements known as helicoidal staircases, and as mechanical elements in vehicle suspension systems and motor valve springs. The helicoidal springs with different dimensions are also used in the high-tech applications, industrial applications, newly developing viscoelastic dampers (for rail, structure etc.), medical researchers (a viscoelastic material model for the arterial tissue etc.) and defense industry (infantry rifles, heavy machine guns, armored fighting vehicles armored personnel carriers). In practical applications, helicoidal springs are in the form of cylindrical and non-cylindrical (barrel, hyperboloidal and conical) types. Having constant curvatures along the axis makes analysis of cylindrical helicoidal springs simpler than non-cylindrical helicoidal springs. In this thesis, dynamic analysis of cylindrical and non-cylindrical viscoelastic helixes with circular and especially non-circular cross sections based on the Timoshenko beam theory is studied. Analysis of viscoelastic helicoidal rod is a necessity when we think about the wide range of application field of the helicoidal springs in the high-tech applications. In the case of a circular sections, torsional moment of inertia is equal to the polar moment of inertia of the cross-section. When rectangular cross-sections are used, we can use some tabular values as a correction parameter. However, if the cross-section is non-circular (and non-rectangular), then the torsional rigidity of the section needs a special care. The correct solution of the problem of torsion of prismatical bars by couples applied at the ends was given by Saint-Venant. In this theory, the deformation of the bar consists of rotations and warping of the cross-section. The warping is the same for all cross-sections and it is defined in the torsional moment of inertia by means of a warping function ψ= ψ(x,y). Instead of defining an analytical expression for each cross-section, it can be also calculated numerically with enough precision which is attained in this study by using another finite element algorithm. In the viscoelastic material case, with the help of elastic-viscoelastic analogy (correspondence principle), the material constants are replaced, with their complex counterparts in the Laplace and Fourier domains. The Laplace and Fourier transformations are a kind of analysis methods called integral transformation which are studied in the field of operational calculus which focuses on the analysis of linear systems. The overall effect of the use of these transforms is to reduce the order of difficulty of the problem. They are very powerful mathematical tools applied in engineering and science for solving the complex problems with a very simple approach just like the applications of transfer functions to solve ordinary differential equations. In this thesis, the Laplace transform is used in the calculations of viscoelastic helixes because of the importance of the Laplace transform that it easily handles many kinds of discontinuous driving functions. The Laplace transform reduces derivatives and integrals with respect to time to algebraic expressions of the transform parameter. The equations that result after transformation are analogous to the field equations, constitutive equations and boundary conditions that govern the behavior of an elastic body of the same geometry as the viscoelastic body. In the solutions first the Kelvin model is employed. The obtained solutions are transformed to the time domain by using both the Durbin’s numerical inverse Laplace method and the Fourier transform space (Fast Fourier Transform-FFT- algorithm). This thesis also aim to compare the precision, duration, and the advantages/disadvantages of these two transformation algorithms. Another aim of this thesis is to give a well documentation in the field of transformation of time dependent problems to the frequency field for their solution and than a back transformation. As long as the wide researches have shown us that, only straight viscoelastic beams and cylindrical viscoelastic helixes with a constant circular cross section were analyzed up to now. All the proposed problems mentioned below are not only original for the literature, but they are also very important in applications of non-standard engineering problems. In this thesis, dynamic behavior of viscoelastic helixes with non-circular cross-sections based on the Timoshenko beam theory is investigated with mixed finite element method. Laplace transform is used for the viscoelastic behavior of the space bar. First of all, convergence calculations for the parameters of the numerical method have been done. One of them is aT, which is introduced from modified Durbin’s Laplace transformation method and the other one is 2N that is used to determine the number of calculation points. It’s seen that it’s advisable to use aT = 6 comparing to aT = 8 and aT = 10 due to it’s shorter erroneous interval. Also 29 number of calculation points is preferred due to the attained enough precision in a shorter calculation time period compared to 2N ( ). Afterward, verification examples existing in the literature is handled and quite satisfactory results are obtained. Finally, some benchmark problems are solved with tabulated results and graphics available for the use in the open literature.Yüksek LisansM.Sc