An Integral Equation Method With Hermite Surfaces For Particle Sedimentation Problems

Tez (Yüksek Lisans) -- İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 2014Thesis (M.Sc.) -- İstanbul Technical University, Institute of Science and Technology, 2014Stokes akışı, bir başka ismiyle düşük Reynolds sayılı akışlar, atalet kuvvetlerinin viskoz kuvvetlere oranla çok küçük ve ihmal edilebilir olduğu akışlardır. Bu tip akışlarda Reynolds sayısı (atalet kuvvetlerinin viskoz kuvvetlere oranını gösteren boyutsuz sayı) birden çok küçüktür. Stokes akışının literatürdeki çeşitli uygulamalarından bazıları kılcal damarlardaki kan akışı, damlacık parçalanması, çok parçacıklı akışlar, sedimantasyon ve bakteri, kan hücresi, mikro robotlar gibi mikro yüzücüler etrafındaki akışlardır. Son yıllarda sınır integral yöntemleri, Stokes akışı gibi küçük Reynolds sayılı akışların davranışlarını anlamak için çok güçlü birer teknik haline gelmişlerdir. Bu yöntemin üç boyutlu Stokes akışına uygulanması ilk olarak Youngren ve Acrivos (1975) tarafından, tek bir katı parçacık etrafındaki akışın, parçacık yüzeyindeki Stokeslet dağılımı ile yapılmıştır. Ardından yöntem farklı birçok akış problemi için uyarlanmıştır. Bunlardan bazıları, şekil değiştiren damla ve kabarcıklar etrafındaki akış, katı cisimlerin süspansiyon akışları, gözenekli ortamlardaki mikroskobik akışlar, kırmızı kan hücrelerinin deformasyonu ve mikroskobik organizmaların akışkan içindeki hareketidir. Sınır integral yöntemlerinin başlıca avantajlarından birisi tamamen üç boyutlu olan bir akış problemini, yüzey elemanlarının kaynak dağılımlarını kullanarak iki boyutlu bir probleme dönüştürmesidir. Böylece hacim için çözüm ağı oluşturmaya gerek kalmaz. Ayrıca dış akış problemleri için uzak sınır koşulları tamamen sağlanmış olur. Ancak bu yöntemlerin bazı dezavantajları da mevcuttur. Bunlardan ilki algoritma sonucu büyük yoğun matrislerden oluşan cebirsel denklem sistemi oluşur ve bu sistemi paralel makinalarla çözülmesı oldukça zordur. İkinci olarak, integral formülasyonda tekillikler oluşmaktadır. Bu tekillikler özel uygulamalar gerektirmektedir. Mevcut çalışmada üç boyutlu Stokes akışı için sürekli parametrik yüzeyler kullanılarak bir sınır integral eleman yöntemi geliştirilmiştir. İlk olarak, akışkan hareketinin temel denklemleri olan Navier-Stokes denklemleri sıkıştırılamaz ve Newtonian akışkan kabulü yapılarak yeni bir forma getirilmiştir. Ardından bu denklem sistemi boyutsuz parametreler kullanılarak boyutsuzlaştırılmıştır. Boyutsuz denklem Reynolds sayısının birden çok küçük olması durumu için tekrar düzenlenerek Stokes akışı için süreklilik ve momentum denklemleri çıkartılmıştır. Stokes akışı için momentum denklemi sabit katsayılı lineer bir diferansiyel denklem olduğundan temel çözümü mevcuttur. Hız ve gerilim vektörleri için bu temel çözümleri elde edildikten sonra Stokes denklemleri sınır integral denklemine dönüştürülür. Bu çalışmada, sınır koşulları olarak yüzeylerdeki hızlar verildiğinden elde edilen denklemler birinci tip Fredholm denklemleridir. Bu tip denklemler “ill-conditioned” denklemler olmasına rağmen integral denklem yöntemlerinde yaygın olarak kullanılmaktadır. Bunun nedeni integral içindeki terimlerin bazı özel durumlarında bu “ill-conditioned” durumunun düzeltilebilir olmasıdır. Elde edilen formülasyonun sayısal olarak çözülebilmesi için çözüm alanı dörtgen sonlu elemanlara ayrıklaştırılmış ve denklemler her bir eleman için çözülmüştür. Çözümün düzgün bir dağılım göstermesi için bu elemanların kesişim yerlerinde sürekliliğin sağlanması gerekmektedir. Bu amaçla her eleman üzerinde sürekli yüzeylerin tanımlanması gerekmektedir. İki boyutlu elemanlara uygulanabilecek sürekli yüzeylerden bir tanesi bi-kübik Hermite yüzeylerdir. Elemanlar üzerinde Hermite yüzeyleri tanımlayabilmek için nokta koordinatlarının ve eğimlerin bilinmesi gerekmektedir. Noktaların koordinatları çözüm ağı bilgisinden gelmektedir, bu noktalardaki eğimler ise noktalardaki normal vektörü kullanılarak hesaplanmaktadır. Ancak bu hesaplamanın yapılabilmesi için çözüm ağındaki her bir nokta için tek bir normal vektör olması gerekmektedir. Bunu sağlamak üzere, literatürde normal vektörü hesaplama algoritmaları karşılaştırılmış ve en uygun yöntem seçilmiştir. Bu yöntem, eleman kenar uzunlukları ve aralarındaki açıları kullanan bir algoritmadır Denklemlerdeki integrallerin de sayısal olarak hesaplanması gerekmektedir. Ancak elde edilen integral denklemler bazı noktalarda tekillik göstermektedir. Tekil olmayan integraller hesaplanırken klasik Gauss-Legendre yöntemi kullanılmıştır. Gauss-Legendre yönteminde dörtgen üzerinde belirli sayıda hesaplama noktaları ve bu noktalar için ağırlıklar belirlenir ardından fonksiyonun eleman üzerindeki dağılımı hesaplanır. Bu çalışmada 4 noktalı Gauss-Legendre yöntemi (n = 4) kullanılmıştır, böylece elemanlar üzerinde toplam 16 hesaplama noktası bulunmaktadır. Tekil fonksiyonların integrasyonu analitik olarak veya özel sayısal yöntemler kullanılarak hesaplanabilir. Sayısal integrasyon yöntemleri genellikle değişken dönüşümü yöntemlerine dayanır. Böylece elemanlar üzerindeki hesaplama noktaları tekilliğin olduğu nokta civarına kaydırılır. Yapılan literatür araştırmasının ardından tekil integraller için tanh-sinh yöntemi kullanılmıştır. Bu yöntem [-1;1] olan integral aralığını [-∞,∞] olarak değiştirir. Böylece hesaplama noktaları tekilliğin olduğu noktaya kaydırılarak tekillik giderilir. Eleman üzerinde kaç hesaplama noktası olacağı bu yöntemin seviyesine (m) bağlıdır. Bu çalışmada problemin hassasiyetine göre 2-4 arası seviyeler kullanılmıştır. m = 2 için eleman üzerinde 21x21, m = 4 için 87x87 nokta bulunmaktadır. Elde ettiğimiz sayısal algoritma ilk olarak sabit duran tek küre etrafındaki akış için uygulanmıştır. Bu problem için faklı eleman sayılarına sahip üç farklı çözüm ağı denenmiştir. Bulunan sayısal sonuçlar analitik çözüm ile karşılaştırılmış ve eleman sayısının artmasıyla çözümün analitik çözüme oldukça yaklaştığı görülmüştür. İkinci olarak algoritma yer çekimi etkisinde serbest düşen küreler için denenmiştir. Öncelikle tek başına düşen küre için çözüm yapılmıştır. Bu çözümün doğruluğunu karşılaştırabilmek için ilk problemde bulunan sürükleme kuvveti bu problemde ağırlık olarak verilmiştir. Böylece kürenin belirli bir zamandan sonra ilk problemdeki sabit hıza ulaşması beklenmiştir ve sonuçlar beklenildiği gibi çıkmıştır. Ardından yer çekimi etkisindeki iki küre problemi ele alınmıştır. Literatürde bulunan bir test problemi denenmiş ve sonuçlar karşılaştırılmıştır. Karşılaştırma sonucu çözümlerin yakın olduğu görülmüştür. Bunun üzerine iki küre problemi farklı bir konfigürasyon için uygulanmıştır. Son olarak üç küre problemi incelenmiştir. Başlangıçta hareketsiz ve yan yana duran üç küre serbest düşmeye bırakılmıştır. Çözümün ardından ortadaki kürenin diğer ikisine göre daha hızlı düştüğü ve diğerlerinin birbirine yaklaştığı görülmüştür. Literatürdeki önceki çalışmalar da bu şekilde sonuçlar vermektedir. Ancak zaman ilerledikçe yanlarda duran kürelerin birbirine iyice yaklaştığı ve sonunda birbirinin içine geçtiği görülmüştür. Bunun nedeni viskoz akışlarda birbirine çok yaklaşan cisimlerin arasında oluşan yağlama kuvvetleridir. Bu kuvvetlerin sayısal olarak yakalanabilmesi için cisimler birbirine yaklaştığında çözünürlüğün artırılması ve zaman adımının düşürülmesi gerektiği görülmüştür. Bu çalışmanın amacı bi-kübik Hermite polinomları ve tanh-sinh yöntemini beraber kullanarak, integral denklem yöntemine dayalı stabil bir Stokes çözücüsü geliştirmektir. Sayısal algoritma için, yüzeyler üzerinde düzensiz dörtgen elemanlar kullanılmıştır ve bilinmeyen fonksiyon değerleri elemanların köşe noktalarına dağıtılmıştır. Zamanda birinci dereceden geri yönde farklar yöntemi ile ayrıklaştırma yapılmıştır. Tüm hesaplamalar Intel(R) Core(TM) i7-2770 340 Ghz işlemcili ve 16 GB hafızaya sahip bir masaüstü bilgisayarda yapılmıştır.An integral equation method has been developed to solve the three-dimensional Stokes flow using a quadrilateral Hermite based function approach to the boundary integral equation method. Then the numerical solutions are obtained by utilizing the boundary collocation method as well as the continuous distribution of Stokeslets, which are the fundamental solutions of the steady Stokes equations. The solution domain is divided into unstructured quadrilateral finite elements and the equations for the velocity and the pressure are solved on each element on the boundary surface. As an advantage of the boundary integral equation method, there is no need to construct a volume mesh, therefore the solution of full three dimensional problem is reduces to a two dimensional problem. In order to get smooth distribution in the numerical solution, the quadrilateral surface elements are represented by continuous parametric surfaces based on the bi-cubic Hermite functions that allows the continuous variation of the surface normal vectors between neighbouring elements. The problem of unique normal vectors at the vertices are solved by using the Mean Weighted by Sine and Edge Length Reciprocal (MWSELR) method after a comparison of vertex normal computation algorithms in the literature. The kernels of the integral equations have singularities. In order to calculate such singular integrals the tanh-sinh quadrature method is used. Non-singular integrals are evaluated using the Gauss-Legendre quadrature rule. The numerical algorithm is initially validated for the three-dimensional unbounded Stokes flow around a sphere and the results are compared with the analytical solution. Then the algorithm is applied to the sedimentation of spherical particles. For the time discretization, first order backward differencing is employed.Yüksek LisansM.Sc