Tempos de extinção para populações em ambiente aleatório

Actualmente, muitas espécies estão em sério perigo de extinção. Destruição do seu habitat, captura excessiva, caça furtiva, são algumas das muitas causas. Este problema ameaça a biodiversidade do planeta com perdas colossais e irreversíveis. Assim, cada vez mais, são uma preocupação constante a previsão do tempo de extinção de qualquer população e o efeito que nele exercem as alterações ambientais. Suponhamos que o crescimento populacional em ambiente aleatório, modelado por uma equação diferencial estocástica de ruído aditivo, pode ser descrito pelo modelo de Gompertz ou modelo logístico. Pretendemos com este trabalho estudar o tempo de extinção destas populações, supondo que a população se extingue quando atinge pela primeira vez um limiar de extinção constante. Com efeito, estes modelos, como qualquer outro modelo em que o tamanho da população varie continuamente, admitem tamanhos da população muito pequenos não-nulos que, na realidade, são impossíveis de ocorrer. Embora não extintas do ponto de vista matemático, as populações devem considerar-se extintas. Também sabemos que a maior parte das espécies, quando atingem um reduzido número de indivíduos, não têm hipótese de sobreviver e reproduzir-se. Por este motivo, pensámos ser interessante estudar o tempo de extinção de uma população que admitimos à partida extinta quando atinge um determinado limiar de extinção. Para os modelos em estudo apresentamos o tempo médio, o desvio padrão e a função densidade de probabilidade do tempo de primeira passagem pelo limiar de extinção. /*** Abstract – In our days, many species are in serious danger of extinction. Destruction of their habitat, excessive harvesting, poaching, are some of several causes. This problem threatens the biodiversity of the planet whit massive and irreversible Tosses. Therefore, there is an increasing concern in forecasting the extinction times of populations and how they are affected by environmental changes. Assume that population growth in a random environment, modelled by a stochastic differential equations with additive poise, can be described by the Gompertz model or the logistic model. In this thesis, we intend to study the extinction times of these populations, assuming that a population is extinct when it reaches for the first time an extinction threshold value. In fact, these models, like any other model where population size varies continuously, allow very small non-zero population sizes that in reality cannot occur. In spite of being non-extinct from the mathematical point of view, the populations must be considered extinct. We also know that most species, when they reach a low number of individuals, have no chance of survival and reproduction. For this reason we think that it is interesting to study the extinction time of a population that we assume extinct when it reaches a specified extinction threshold size. For the models under study we present the mean, the standard deviation, and the probability density function of the first passage time through the extinction threshold value