Computing marginal posterior densities og genetic parameters of a multiple trait animal model using Laplace approximation or Gibbs sampling

Two procedures for computing the marginal posterior density of heritabilities or genetic correlations, ie, Laplace’s method to approximate integrals and Gibbs sampling, are compared. A multiple trait animal model is considered with one random effect, no missing observations and identical models for all traits. The Laplace approximation consists in computing the marginal posterior density for different values of the parameter of interest. This approximation requires the repeated evaluation of traces and determinants, which are easy to compute once the eigenvalues of a matrix of dimension equal to the number of animals are determined. These eigenvalues can be efficiently computed by the Lanczos algorithm. The Gibbs sampler generates samples from the joint posterior density. These samples are used to estimate the marginal posterior density, which is exact up to a Monte-Carlo error. Both procedures were applied to a data set with semen production traits of 1957 Normande bulls. The traits analyzed were volume of the ejaculate, motility score and spermatozoa concentration. The Laplace approximation yielded very accurate approximations of the marginal posterior density for all parameters with much lower computing costs.Deux procédures de calcul de la densité marginale a posteriori des héritabilités et des corrélations génétiques, à savoir la méthode de Laplace pour l’approximation des intégrales et l’échantillonnage de Gibbs, sont comparées. Pour cela, nous considérons un modèle animal multicaractère avec un effet aléatoire, sans observations manquantes et avec un modèle identique pour chaque caractère. L’approximation de Laplace conduit au calcul de la densité marginale a posteriori pour différentes valeurs du paramètre qui nous intéresse. Cela nécessite l’évaluation répétée de traces et de déterminants qui sont simples à calculer une fois que les valeurs propres d’une matrice de dimension égale au nombre d’animaux ont été déterminées. Ces valeurs propres peuvent être calculées de manière efficace à l’aide de l’algorithme de Lanczos. L’échantillonnage de Gibbs génère des échantillons de la densité conjointe a posteriori. Ces échantillons sont utilisés pour estimer la densité marginale a posteriori, qui est exacte à une erreur de Monte Carlo près. Les deux procédures ont été appliquées à un fichier de données comportant les caractères de production de semence recueillies sur 1957 taureaux Normands. Les caractères analysés étaient le volume de l’éjaculat, une note de motilité et la concentration en spermatozoïdes. L’approximation laplacienne a permis une approximation très précise de la densité marginale a posteriori de tous les paramètres avec un coût de calcul beaucoup plus réduit