Quantum Entanglement in Random and Inhomogeneous Spin Chains

Tesis doctoral inédita leída en la Universidad Autónoma de Madrid, Facultad de Ciencias, Departamento de Física Teórica de la Materia Condensada. Fecha de lectura: 03-07-2015We present the study of quantum entanglement in 1D random systems and inhomogeneous systems. We use a combination of the methods of exact diagonalization and a fermionic version of the Dasgupta-Ma renormalization group. We also introduce a new tool for the study of random hopping models based on the study of random permutations. These methods allow us to describe, in some cases, the states of the systems as a valence bond structure. We study the low-energy states of the 1D random-hopping model in a strongly disordered regime. Indeed, we analyze the properties of entanglement focusing on the similarities between the conformal eld theory predictions for the clean case and the strong disorder renormalization group predictions. The entanglement structure is shown to depend solely on the probability distribution for the length of the e ective bonds. Parity oscillations are absent in von Neumann entropy with periodic boundary conditions, but appear in the higher moments of the distribution, such as the variance. The particle-hole excited states leave the bond structure and the entanglement untouched. Nonetheless, particle addition or removal deletes bonds and leads to an e ective saturation of entanglement at an e ective block size given by the expected value for the longest bond. We also study the engineer of an exponential deformation for 1D critical local Hamiltonians, based on the renormalization group arguments. We analyze the properties of the entanglement that present a volume growth for the entanglement entropy in the ground state which looks like a rainbow connecting the two halves of the chain. This e ect is exempli ed in the XX and Heisenberg models. For the XX inhomogeneous model we characterize the crossover between the critical and the maximally entangled ground state in terms of the entanglement entropy and the entanglement spectrum. We also show that, in the weak inhomogeneity limit, the rainbow state is a thermo eld state of a conformal eld theory with a temperature proportional to the inhomogeneity parameter. We also propose an extension of the model to higher dimensions. Finally, we study the time-evolution of some valence bond states, e.g. the rainbow and dimer states, after a global quench to a homogeneous Hamiltonian in 1D. After the quench, the entanglement of the half-chain of the rainbow state decreases linearly with time and, after it reaches a minimal value, it increases again to (approximately) its initial value. The dimer state presents the opposite case, the entanglement grows linearly with time to a maximal value, then it decreases to reach its initial value. Furthermore, we propose a ballistic picture, as a generalization of the quasiparticle picture, which seems to explain the linear behaviour of the entanglement. We also use this ballistic picture to study the time-evolution of the dimer state in Rindler space-time.En este trabajo presentamos el estudio del entrelazamiento cu antico en sistemas aleatorios y sistemas no homog eneos en 1D. Para ello hemos usado una combinaci on de los m etodos de diagonalizaci on exacta y una versi on fermi onica del m etodo de grupo renormalizacióon de Dasgupta-Ma. Tambi en proponemos un m etodo basado en el estudio de permutaciones aleatorias. La aplicaci on de estos m etodos permite, en algunos casos, la descripci on de los estados del sistema como una estructura de enlaces de valencia. Por un lado estudiamos los estados de baja energ a de un sistema en 1D con acoplos aleatorios fuertemente desordenados. Analizamos las propiedades del entrelazamiento enfocando en la semejanza entre las predicciones de la teor a de campos conformes asociada al caso homog eneo y las predicciones del grupo de renormalizaci on para el caso fuertemente desordenado. Mostramos c omo depende la estructura de entrelazamiento de la distribuci on de la probabilidad de la longitud de los enlaces efectivos. Adem as mostramos la existencia de oscilaciones de paridad que, aunque no se presentan en el caso de un sistema con condiciones de contorno peri odicas, s aparecen en momentos de orden superior, como la varianza. En cuanto a los estados excitados, mostramos que el estado part cula-hueco no altera la estructura de enlaces, por lo que no afecta el entrelazamiento. Sin embargo, los estados excitados obtenidos al agregar o quitar part culas s afectan la estructura de enlaces, lo que causa una saturaci on del entrelazamiento para un tama~no efectivo de bloque dado por el valor esperado de la longitud del enlace m as largo. Por otro lado, bas andonos en argumentos de grupo de renormalizaci on, hemos diseñado una deformaci on exponencial de los enlaces para un sistema cr tico descrito por un Hamiltoniano local en 1D que presenta un entrelazamiento m aximo. Mostramos que este presenta un crecimiento volum etrico en la entrop a de entrelazamiento del estado fundamental, que tiene la forma de un arco ris (rainbow) conectando las dos mitades de la cadena. Estudiamos este efecto en los modelos XX y de Heisenberg. Para el modelo XX, estudiando la entrop a y el espectro de entrelazamiento, encontramos una caracterizaci on de la transici on entre el estado fundamental para un sistema cr tico y el estado fundamental para el sistema m aximamente entrelazado. Tambi en mostramos como el estado rainbow puede interpretarse como el estado thermo eld de una teor a de campo conforme con una temperatura que es proporcional al par ametro que determina la no homogeneidad. Tambi en, proponemos una extensi on para un modelo en 2D. Finalmente, estudiamos la evoluci on temporal de algunos estados que presentan una estructura de enlaces de valencia, por ejemplo el estado rainbow y el estado dimerizado, despu es de un quench a un Hamiltoniano homog eneo en 1D. La evoluci on temporal del entrelazamiento, para el caso del estado rainbow decrece con el tiempo hasta un valor m nimo y luego aumenta hasta casi alcanzar su valor inicial. Por el contrario, en el estado dimerizado, el entrelazamiento aumenta hasta un valor m aximo y luego disminuye hasta su valor inicial. Tambi en proponemos una descripci on ball stica, que generaliza la descripci on basada en cuasi-part culas, y que parece explicar el comportamiento lineal del entrelazamiento. Adem as, usamos la descripci on bal stica para estudiar la evoluci on temporal del entrelazamiento del estado dimerizado en un espacio-tiempo de Rindler