Schémas de convection pour les équations de Navier-Stokes sur maillages généraux

The objective of this thesis is to improve the numerical schemes based on staggered meshes used for the simulation of problems from fluid mechanics and to extend them to very general meshes while guaranteeing their validity for different flow regimes (incompressible or compressible). Particular attention is paid to the convection and diffusion operators of the momentum balance equation. Their discretizations are developed in such a way as to be valid for different types of cells, including particular three-dimensional cells such as prismatic or pyramidal cells.The discrete momentum convection operator is of finite volume type. It is based on the construction of interpolated velocities at the interfaces, as well as on the construction of discrete fluxes. This operator is based on algebraic stability constraints, which makes it easily transposable to general meshes and flexible with respect to the distortion or the anisotropy of the mesh. Nevertheless, this method allows obtaining a consistent discretization of the convection operator.The discrete diffusion operator is based on a non-parametric finite element method. We show that it is possible to generalize classical elements such as the Crouzeix-Raviart element or the Rannacher-Turek element to general cells. This generalization yields inf-sup stable discrete operators. It also allows us to find optimal orders of convergence on complex meshes due to their non-parametric nature.L'objectif de cette thèse est d'améliorer les schémas numériques à mailles décalés utilisés pour la simulation de problèmes issus de la mécanique des fluides, et de les étendre à des maillages très généraux, tout en garantissant leur validité pour différents régimes d'écoulement (incompressibles ou compressibles). Une attention particulière est portée sur les opérateurs de convection et de diffusion de l'équation de quantité de mouvement dont la discrétisation est développée de façon à être valable pour différents types de mailles, et notamment des mailles tridimensionnelles comme des mailles prismatiques ou pyramidales. L'opérateur discret de convection de la quantité de mouvement est un opérateur de type volumes finis et se base sur la construction de vitesses interpolées aux interfaces ainsi que sur la construction de flux discrets. Cet opérateur se base sur des contraintes de stabilité algébriques, ce qui lui permet d'être facilement transposable à des mailles générales et flexibles par rapport à la distorsion ou l'anisotropie du maillage. Pour autant, cette méthode permet d'aboutir à une discrétisation consistante de l'opérateur de convection.L'opérateur discret de diffusion est basé sur une méthode d'éléments finis non-paramétrique. Nous montrons qu'il est possible de généraliser des éléments classiques tels que l'élément de Crouzeix-Raviart ou l'élément de Rannacher-Turek à des mailles générales. Cette généralisation donne des opérateurs discrets inf-sup stables, et permet de retrouver des ordres de convergence optimaux sur des maillages complexes