Contributions à l'inférence en grande dimension structurée

In this thesis, we consider the three following problems: clustering in Bipartite Stochastic Block Model, estimation of topic-document matrix in topic model, and benign overfitting in nonparametric regression. First, we consider the graph clustering problem in the Bipartite Stochastic Block Model (BSBM). The BSBM is a non-symmetric generalization of the Stochastic Block Model, with two sets of vertices. We provide an algorithm called the Hollowed Lloyd's algorithm, which allows one to classify vertices of the smallest set with high probability. We provide statistical guarantees on this algorithm, which is computationnally fast and simple to implement. We establish a sufficient condition for clustering in BSBM. Our results improve on previous works on BSBM, in particular in the high-dimensional regime. Second, we study the problem of assigning topics to documents using topic models. Topic models allow one to discover hidden structures in a large corpus of documents through dimension reduction. Each topic is considered as a probability distribution on the dictionary of words, and each document is considered as a mixture of topics. We introduce an algotihm called the Successive Projection Overlapping Clustering (SPOC) algorithm, inspired by the Successive Projection Algorithm for Non-negative Matrix Factorization. The SPOC algorithm is computationnally fast and simple to implement. We provide statistical guarantees on the outcome of the algorithm. In particular, we provide near matching minimax upper and lower bounds on its estimation risk under the Frobenius and the l1-norm. Our clustering procedure is adaptive in the number of topics. Finally, the third problem we study is a nonparametric regression problem. We consider local polynomial estimators with singular kernel, which we prove to be minimax optimal, adaptive to unknown smoothness, and interpolating with high probability. This property is called benign overfitting.Dans cette thèse, nous considérons les trois problèmes suivants : le problème de clustering dans le Bipartite Stochastic Block Model, le problème de classification de documents dans le cadre des topic models, et le problème de benign overfitting dans le cadre de régression non paramétrique. Tout d'abord, nous considérons le problème de clustering dans le Bipartite Stochastic Block Model (BSBM). Le BSBM est une généralisation non symétrique du Stochastic Block Model, avec deux ensembles de sommets. Nous introduisons un algorithme appelé le Hollowed Lloyd's algorithm, qui permet de classer les sommets du plus petit ensemble avec grande probabilité. Nous fournissons des garanties statistiques sur cet algorithme, qui est rapide et simple à implémenter. Nous établissons une condition suffisante pour le clustering dans le BSBM. Nos résultats améliorent les travaux précédents sur le BSBM, en particulier dans le cadre de grande dimension. Deuxièmement, nous étudions le problème de la classification de documents dans le cadre des topic models. Les topic models permettent d'exploiter des structures sous-jacentes dans un grand corpus de documents et ainsi de réduire la dimension du problème considéré. Chaque topic est vu comme une distribution de probabilité sur le dictionnaire de mots du corpus, et chaque document est vu comme un mélange de topics. Nous introduisons un algorithme appelé Successive Projection Overlapping Clustering (SPOC), inspiré du Successive Projection Algorithm pour le problème de Nonnegative Matrix Factorization. L'algorithme SPOC est rapide et simple à implémenter. Nous fournissons des garanties statistiques sur le résultat de l'algorithme SPOC. En particulier, nous fournissons des bornes minimax inférieures et supérieures sur son risque d'estimation pour les normes de Frobenius et l1, bornes correspondant à de faibles facteurs près. Notre procédure de clustering est adaptative en le nombre de topics. Enfin, le troisième problème étudié lors de cette thèse porte sur la régression non paramétrique. Nous considérons des estimateurs par polynômes locaux avec des noyaux singuliers. Nous prouvons que ces estimateurs sont minimax optimaux, adaptatifs en la régularité et interpolants avec une probabilité élevée. Cette propriété est appelée benign overfitting