Multiscale projection method and hierarchical meshes for incompressible flows modeled by the Navier-Stokes equations

Resolver as equações de Navier-Stokes para um grande número de incógnitas é um trabalho difícil e de elevado custo computacional. Essa tarefa geralmente é feita em paralelo, entretanto a escalabilidade é difícil de se obter com métodos tradicionais, especialmente quando o número de incógnitas cresce muito. Esta tese lida com formas diferentes de redução do custo computacional ao se resolver problemas de escoamentos de fluidos modelados pelas equações de Navier-Stokes. Uma das ideias exploradas é o emprego de refinamento localizado permitindo significativa redução de custo computacional ao utilizar malhas mais grosseiras em regiões que não são de interesse ainda mantendo um bom nível de precisão ao refinar regiões importantes do escoamento. Isso é realizado com uma estrutura de malha hierárquica juntamente com interpolações independentes de malha para lidar com os diversos níveis de refinamento possíveis no domínio. Os resultados mostram que o método é robusto e mantém convergência em diversos testes clássicos na literatura. Outra estratégia é utilizar um método com decomposição de domínio multiescala, no caso o Multiscale Robin Coupled Method, para resolver o problema elíptico que surge ao aplicar o método da projeção para desacoplar o cálculo de velocidade e pressão. Análises demonstram enorme potencial para redução de custo global em uma implementação paralela. Os resultados obtidos com essa combinação (método da projeção com método multiescala, batizado de método de projeção multiescala) mostraram acurácia nas comparações com as soluções respectivas de malha fina e soluções analíticas quando existentes.Solving the Navier-Stokes equations for a large number of unknowns is a difficult task with a high computational cost. This is usually done in parallel, but scalability is hard to achieve with traditional methods, especially for very large number of unknowns. We propose different ways of dealing with computational cost reduction when solving the Navier-Stokes equations. One of the strategies is using local refinement to reduce the computational cost by coarsening uninteresting areas while maintaining accuracy with local refinement in important flow areas. This is performed by a hierarchical mesh along with meshless interpolations to deal with the variation of refinement levels across the domain. Results show that the method is robust and keep optimal convergence order in several classical tests available in the literature. The second strategy proposes a new domain decomposition multiscale projection method based on the Multiscale Robin Coupled Method to solve the elliptic pressure equation used to decouple velocity and pressure calculations. Analysis show great potential for cost reduction in a parallel implementation. Results obtained with the multiscale projection method show accuracy when comparing them to the undecomposed case or analytical solutions when available