Geometric sequences and series in High School: an approach with the Sierpinski Triangle

Pesquisas mostram que o uso de vários sistemas de representação semiótica em sequências e séries, na Educação Básica, enriquece o aprendizado em Matemática, e que é preciso desenvolver aspectos intuitivos que favoreçam processos de generalização. Compreender, discriminar e saber usar diferentes registros não é espontâneo e precisa ser trabalhado pelo professor em sala de aula, de forma complementar ao livro didático. Como objetivos desta pesquisa de Mestrado Profissional em Ensino de Matemática, tem-se: identificar se os participantes desenvolvem bons aspectos intuitivos; se inter-relacionam aspectos intuitivos, algorítmicos e formais; quais dificuldades nos processos de conversão e tratamento de diferentes registros de representação semiótica em sequências e séries geométricas e quais concepções de infinito podem ser identificadas nas respostas obtidas. Espera-se responder três questões: Uma abordagem de ensino baseada em vários registros de representação semiótica favorece a interação de aspectos algorítmicos, intuitivos e formais em sequências e séries geométricas?,Quais concepções de infinito emergem nas respostas dos participantes em sequências e séries geométricas? e Quais as dificuldades explicitadas pelos participantes nos processos de tratamento e conversão de sequências e séries geométricas?. Foram elaboradas duas propostas de ensino, baseadas no Triângulo de Sierpinski, e a primeira delas foi aplicada a sete estudantes de 2ª série do Ensino Médio brasileiro e a um grupo de 13 professores e licenciados, cuja análise consta neste texto. Como produto final esperado de um Mestrado Profissional, deixam-se as atividades propostas e reelaboradas, para uso do professor de Matemática da Educação Básica, com elementos que consideramos interessantes para o ensino de sequências e séries geométricas e também para um trabalho com concepções de infinito que aparecem no assunto.Research shows that using several systems of semiotic representation in sequences and series, in Basic Education, enriches Mathematics learning, and it is needed to develop intuitive aspects which allows generalization processes. Understanding, discriminating and knowing how to use different registers is not spontaneous and needs to be worked on by Mathematics teachers in classroom, in a complementary form to the textbook. For this reason, research theme of this Professional Master\'s Dissertation in Mathematics Teaching is to identify if the participants evolve good intuitive aspects and interrelate intuitive, algorithmic and formal aspects. Also, which difficulties they have in conversion and treatment processes of different semiotic representation registers used in geometric sequences and series and which conceptions of infinity may be identified in the answers given to the proposed activities. It is expected to answer three questions: Does a teaching approach based on several registers of semiotic representation favor the interaction of algorithmic, intuitive and formal aspects in geometric sequences and series?, What conceptions of infinity emerge in participants\' responses in sequences and geometric series? and What are the difficulties explained by the participants in the processes of processing and converting geometric sequences and series?. Three teaching proposals were elaborated, based on Sierpinski Triangle, and the first of them was applied to seven Brazilian High School students and to a group of 13 teachers and graduates, whose analysis is included in this text. As an expected final product of a Professional Master\'s Degree, the activities proposed, and redesigned, for using by Mathematics teachers in Basic Education is left, with elements that may be considered interesting for teaching geometric sequences and series and also for working with infinite conceptions that appear in the subject