Problème de Temps de Sortie pour les Diffusions Auto-interagissantes et Auto-stabilisantes

In this thesis, exit-time problem for two types of non-linear diffusion processes is considered. The first process is called the Self-interacting diffusion and is defined by the following SDE including interaction of the process with its own path: d X_t = \sigma d W_t - ( \nabla V(X_t) + \frac{1}{t} \int_0^t \nabla F (X_t - X_s) d s) d t.The second equation of interest is a special case of McKean-Vlasov process that we call the Self-stabilizing diffusion. It is defined by the following SDE including the convolution of the process with its law \Law(X_t): d X_t = \sigma d W_t - ( \nabla V(X_t) + \nabla F*\Law(X_t)(X_t)d s ) d t.By the exit-time problem, we mean the study of the stopping time \tau := \inf\{t \geq 0: X_t \notin G\}, the first time when a given diffusion process exits a fixed domain of attraction G, in the small noise regime. In particular, we are interested in the asymptotic behavior of \tau, when the diffusion parameter \sigma \to 0 and we are looking for the so-called Kramers' type law, that is \tau \approx \e^{\frac{2 H}{\sigma^2}},where H > 0 is a constant that controls the rate of growth of the exit-time. Moreover, we are interested in describing the location of points where the diffusion is likely to leave the domain G (exit-location problem).The thesis consists of 4 chapters. The first chapter presents the Self-interacting and the Self-stabilizing diffusion processes, their important properties and the state of the art of the exit-problem.Chapters 2 and 3 are focused on the exit-time problem for the Self-interacting diffusions. In Chapter 2 functions V and F are assumed to be convex, which allows us to use standard coupling method techniques to establish the Kramers' type law and the exit-location results. Chapter 3 does not assume any convexity of V or F, which makes the problem significantly more difficult. In this chapter, we prove the large deviations principle for the Self-interacting diffusion and use techniques similar to the Freidlin-Wentzell theory, but taking into account that we are in the non-Markov case. Using this approach, we establish the Kramers' type law and the exit-location results.Finally, Chapter 4 solves the exit-time problem for the Self-stabilizing diffusion processes for general potentials V and F, which was an open problem for more than 15 years. In this case, we use improved coupling techniques to establish the Kramers' type law and the exit-location results.Dans cette thèse, le problème du temps de sortie pour deux types de processus de diffusion non linéaire est étudié. Le premier processus est appelé diffusion auto-interagissante et est défini par l'équation différentielle stochastique suivante, incluant l'interaction du processus avec son propre passé : d X_t = \sigma d W_t - ( \nabla V(X_t) + \frac{1}{t} \int_0^t \nabla F (X_t - X_s) d s) d t.La deuxième équation à laquelle on s'intéresse est un cas particulier du processus de McKean-Vlasov et nous l'appelons la diffusion auto-stabilisante. Elle est définie par l'équation différentielle stochastique suivante, incluant la convolution du processus avec sa loi au temps t, \Law(X_t) : d X_t = \sigma d W_t - ( \nabla V(X_t) + \nabla F*\Law(X_t)(X_t)d s ) d t.Le problème du temps de sortie considéré ici est l'étude du premier instant auquel un processus de diffusion donné sort d'un domaine fixé G, dans un régime de faible bruit : \tau := \inf\{t \geq 0 : X_t \notin G\} . En particulier, nous nous intéressons au comportement asymptotique du temps d'atteinte \tau, lorsque le paramètre de diffusion \sigma \to 0, et nous recherchons la loi de type Kramers, c'est-à-dire \tau \approx \e^{\frac{2 H}{\sigma^2}},où H > 0 est une constante qui contrôle la vitesse de croissance du temps de sortie. De plus, nous décrivons l'emplacement des points où la diffusion peut quitter le domaine G (ce qui correspond au problème de localisation de sortie).La thèse se compose de 4 chapitres. Le premier chapitre présente les processus de diffusion auto-interagissants et auto-stabilisants, leurs propriétés importantes et l'état de l'art du problème de sortie.Les chapitres 2 et 3 sont axés sur le problème du temps de sortie pour les diffusions auto-interagissantes. Dans le chapitre 2, on suppose que les fonctions V et F sont convexes, ce qui nous permet d'utiliser des techniques de couplage standard pour établir la loi de type Kramers et le résultat de localisation de sortie. Le chapitre 3 ne suppose aucune convexité sur V ou F, ce qui rend le problème nettement plus difficile et intéressant. Dans ce chapitre, nous démontrons le principe des grandes déviations pour la diffusion auto-interagissante et utilisons des techniques similaires à la théorie de Freidlin-Wentzell, tout en tenant compte du fait que nous sommes dans un cadre non markovien. Avec cette approche, nous établissons la loi de type Kramers ainsi que le résultat de localisation de sortie.Enfin, le chapitre 4 résout le problème du temps de sortie pour les processus de diffusion auto-stabilisants avec des potentiels généraux V et F. Il s'agit d'un problème ouvert depuis plus de 15 ans. Pour l'étudier, nous utilisons des techniques de couplage améliorées afin d'établir la loi de type Kramers et les résultats de localisation de sortie