Smirnov words and the Delta Conjectures

We provide a combinatorial interpretation of the symmetric function $\Theta_{e_k}\Theta_{e_l}\nabla e_{n-k-l}\vert_{t=0}$ in terms of Smirnov words, which are words where adjacent letters are distinct. The motivation for this work is the study of a diagonal coinvariant ring with one set of commuting and two sets of anti-commuting variables, whose Frobenius characteristic is conjectured to be the symmetric function in question. It is intimately related to the two Delta conjectures, as our work is a step towards a unified formulation of these.Nous donnons une interprétation combinatoire à la fonction symétrique $\Theta_{e_k}\Theta_{e_l}\nabla e_{n-k-l}\vert_{t=0}$ en termes de mots de Smirnov, qui sont les mots dont les lettres adjacentes sont distinctes. La motivation de ce travail est l'étude de l'anneau des coinvariants diagonaux avec un jeu de variables commutatives et deux jeux de variables anticommutatives, dont la caractéristique de Frobenius est, conjecturalement, la fonction symétrique en question. Elles est intimement liée aux conjectures Delta, ce travail constituant un pas vers une formulation unifiée de ces dernières