Jeux de Stackelberg, tarification optimale et application aux marchés de l'électricité

In this PhD dissertation, we combine tools from bilevel optimization, mean-field games and ergodic control to tackle challenging issues in pricing management, especially in the optimal design of contracts for retail electricity markets.First of all, we formulate the problem as a leader-follower interaction (Stackelberg game), in which the customers decision is of probabilistic nature (bounded rationality). Through the tropical geometry viewpoint, we analyze the customers choice by interpreting the latter as a polyhedral complex (cell arrangement). We develop a new algorithm that exploits this underlying geometry, and provide results on realistic instances from the pricing problem faced in retail electricity markets. We then extend this model in two ways: firstly, we incorporate inertia in the customers decision, modeled as a Markov Decision Process in which transitions correspond to bilevel problems. We prove that the associated ergodic control problem admits a solution, that can be obtained through the solving of an eigenvalue problem. Secondly, we extend the model by optimizing not only the price coefficients but also the structure of the tariff menu : the question of the optimal number of contracts is viewed as the optimal quantization of an infinite-size menu of offers, the latter being described as a convex program. We develop to this purpose new pruning procedures, inherited from max-plus based methods used in optimal control.Besides, we study incentive mechanisms through monetary rewards by defining a Principal-Agent interaction between a retailer and a field of agents, where each agent competes with similar ones to be the most energy-compliant customer (ranking games). We make explicit both the Nash equilibrium achieved by the agents and the optimal reward function to offer to a heterogeneous population with uniform price elasticity. We present numerical results on the general case, and show the potential of this ranking game as a sobriety lever. Finally, we study two frameworks that appear in pricing management, that is chance-constrained programming and sparse optimization. For the former, we analyze the tractability of convex conservative approximations based on concentration inequalities. For sparsity concerns, we introduce a family of entropic bounds -- proved to control the cardinality requirement -- that we embed into sparse optimization problems to derive nonlinear approximations to the latter.Dans cette thèse, nous combinons des outils d'optimisation bi-niveaux, de jeux à champ moyen et de contrôle ergodique pour résoudre des problèmes complexes de gestion des prix, en particulier dans la conception optimale de contrats pour les marchés de détail de l'électricité.Tout d'abord, nous formulons le problème comme une interaction meneur-suiveur (jeu de Stackelberg), dans laquelle la décision du client est de nature probabiliste (rationalité limitée). Du point de vue de la géométrie tropicale, nous analysons le choix du client en interprétant ce dernier comme un complexe polyédral (arrangement cellulaire). Nous développons un nouvel algorithme qui exploite cette géométrie sous-jacente et fournissons des résultats sur des instances réalistes du problème de tarification rencontré sur les marchés de détail de l'électricité. Nous étendons ensuite ce modèle de deux manières : premièrement, nous intégrons l'inertie dans la décision des clients, modélisée comme un processus décisionnel de Markov dans lequel les transitions correspondent à des problèmes bi-niveaux. Nous prouvons que le problème de contrôle ergodique associé admet une solution, qui peut être obtenue par la résolution d'un problème aux valeurs propres. Dans un second temps, nous étendons le modèle en optimisant non seulement les coefficients de prix mais aussi la structure du menu tarifaire : la question du nombre optimal de contrats est vue comme la quantification optimale d'un menu d'offres de taille infinie, ce dernier étant décrit comme un programme convexe. Nous développons à cet effet de nouvelles procédures d'élagage, héritées des méthodes max-plus utilisées en contrôle optimal.Par ailleurs, nous étudions les mécanismes incitatifs par le biais de récompenses monétaires en définissant une interaction Principal-Agent entre un détaillant et un continuum d'agents, où chacun agent rivalise pour être le plus économe en énergie (jeux de classement). Nous explicitons à la fois l'équilibre de Nash atteint par les agents et la fonction de récompense optimale à offrir en présence d'une élasticité-prix uniforme au sein d'une population hétérogène. Nous présentons des résultats numériques sur le cas général, et montrons le potentiel de ce jeu de classement comme levier de sobriété. Enfin, nous étudions deux cadres qui apparaissent dans la gestion des prix, à savoir l’optimisation sous contrainte en probabilité et l'optimisation parcimonieuse. Pour le premier, nous analysons la pertinence et le passage à l’échelle d’approximations convexes basées sur les inégalités de concentration. Pour le second, nous introduisons une famille de bornes entropiques pour laquelle nous prouvons la capacité à contrôler la cardinalité de la solution, et que nous intégrons dans des problèmes d'optimisation parcimonieux pour obtenir des approximations non linéaires de ces derniers