Stratonovich Stochastic Differential Equations

U ovom diplomskom radu proučavana je Stratonovicheva stohastička diferencijalna jednadžba. Najprije je definirano Brownovo gibanje koji je pogonski proces Stratonovicheve stohastičke diferencijalne jednadžbe i navedena su bitna svojstva tog procesa. Definirani su Itôv i Stratonovichev stohatički integral. Pokazano je da Stratonovichev stohastički integral formalno zadovoljava pravilo za derivaciju kompozicije funkcija. Navedena je formula koja povezuje Itôv i Stratonovichev stohastički integral i služi za prelazak s Itôve stohastičke diferencijalne jednadžbe na Stratonovichevu stohastičku diferencijalnu jednadžbu. Navedeni su primjeri u kojima je dan postupak rješavanja Itôve stohastičke diferencijalne jednadžbe pomoću ekvivalentne Stratonovicheve stohastičke diferencijalne jednadžbe. Izveden je Stratonovich-Taylorov razvoj koji je temelj za Milsteinovu aproksimacijsku shemu. Na kraju su navedeni primjeri u kojima se koristi Milsteinova aproksimacijska shema za simulaciju trajektorije jakog rješenja Stratonovicheve stohastičke diferencijalne jednadžbe.This paper studies Stratonovich stochastic differential equation. First, Brownian motion is defined, which is the driving process of Stratonovich’s stochastic differential equation, and the essential properties of that process are listed. Itô’s and Stratonovich’s stochastic integrals are defined. It is shown that the Stratonovich stochastic integral formally satisfies the chain rule. A formula that connects Itô’s and Stratonovich’s stochastic integral is given and is used to transition from Itô’s stochastic differential equation to Stratonovich’s stochastic differential equation. Examples in which the procedure for solving Itô’s stochastic differential equation using the equivalent Stratonovich stochastic differential equation are given. The Stratonovich-Taylor expansion is derived, which is the basis for the Milstein approximation scheme. Finally, examples in which the Milstein approximation scheme is used to simulate the trajectory of a strong solution of the Stratonovich stochastic differential equation are given