Méthodes implicites de Lyapunov pour l'analyse et la synthèse de systèmes superexponentiellement stables

One of the most important performance indices for an automatic control system is the speed ofresponse which refers to the time taken by the system to respond to the given input or externaldisturbance. The design of reliable fast-acting control systems is a challenging engineering problem,for the solution of which various theoretical methods are developed. However, due to the complexityof the required stability analysis, none of the existing approaches provides a simple and constructivealgorithm for calculating the parameters of a control system. Therefore, the objective of the researchwas to develop an alternative way of control design that would provide such an algorithm. To thisend, the Implicit Lyapunov method, that is based on the study of a Lyapunov function implicitlydefined by some nonlinear algebraic equation, was chosen as the main tool for stability analysis inthe thesis. Due to the implicit formulation, sufficient stability conditions for control systems can bepresented in the form of linear matrix inequalities that can be numerically checked very efficientlyusing appropriate mathematical software. As a result, the calculation of the control parameters, whichensure the desired performance and robustness of the closed-loop system, is significantly simplified.To demonstrate the advantages and capabilities of the Implicit Lyapunov method, several problemsrelated to superexponential (hyperexponential and finite/fixed-time) stabilization and state estimationof dynamical systems have been solved in the thesisL’un des indices de performance les plus importants pour un système de contrôle automatique est lavitesse de réponse, qui correspond au temps mis par le système pour répondre à une entrée donnéeou à une perturbation externe. La conception de systèmes de contrôle fiables à action rapide est unproblème d’ingénierie difficile, pour la solution duquel diverses méthodes théoriques sont dévelop-pées. Cependant, en raison de la complexité de l’analyse de stabilité requise, aucune des approchesexistantes ne fournit un algorithme simple et constructif pour calculer les paramètres d’un systèmede contrôle. Par conséquent, l’objectif de la recherche était de développer une méthode alternative deconception d’une commande automatique qui fournirait un tel algorithme. À cette fin, la méthodeimplicite de Lyapunov, qui est basée sur l’étude d’une fonction de Lyapunov définie implicitement parune certaine équation algébrique non linéaire, a été choisie comme outil principal pour l’analyse destabilité dans la thèse. Grâce à la formulation implicite, les conditions de stabilité suffisantes pourles systèmes de contrôle peuvent être présentées sous la forme d’inégalités matricielles linéaires quipeuvent être vérifiées numériquement de manière très efficace en utilisant un logiciel mathématiqueapproprié. Par conséquent, le calcul des paramètres de commande, qui assurent la performance etla robustesse souhaitées du système en boucle fermée, est considérablement simplifié. Pour démon-trer les avantages et les capacités de la méthode implicite de Lyapunov, plusieurs problèmes liés à lastabilisation et à l’estimation d’état superexponentielle (hyperexponentielle et en temps fini/fixe) dessystèmes dynamiques ont été résolus dans la thès